Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Учебно-методическое пособие

по дисциплине «Математика»

для организации индивидуальной и контроля

самостоятельной работы студентов, обучающихся

по направлению 080100.62 «Экономика»

(II семестр)

Казань 2009

Составители: зав. кафедрой, профессор Марданов Р.Ш.,

к.ф.-м.н., доцент Хасанова А.Ю.

к.ф.-м.н., доцент Фатыхов А.Г.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент Султанов Р.А.

Обсуждено на заседании кафедры математики и экономической информатики 29.04.2009, протокол № 9.

Контроль качества:

методист: доцент Пайгунова Ю.В.

ст. методист: доцент Калинина Т.Н.

начальник

отд. УККО: доцент Андреева Р.Н.

Введение

При изучении математики требуются не только учебники и справочники по соответствующим разделам математики, но и учебно-методические пособия и методические разработки, включающие упражнения и задания для закрепления знаний, полученных на лекционных и практических занятиях и при самостоятельном изучении.

Данное учебно-методическое пособие составлено в соответствии с программой курса «Математика» и календарно-тематическим планом для изучения математики студентами 1-го курса ОЭФ во 2-м семестре. По плану во 2-м семестре предусмотрено 7 индивидуальных работ по следующим темам:

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

2. Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

3. Повторные независимые испытания.

4. Основные законы распределения случайной величины. Закон больших чисел.

5. Выборочный метод.

6. Статистическая проверка гипотез.

7. Корреляционный анализ.

По каждой теме приводятся 30 вариантов заданий. В рамках индивидуальных занятий студенты должны выполнить по одному варианту задания соответствующей темы. На выполнение одного варианта индивидуальных заданий по каждой теме отводится 2 часа. Контроль знаний осуществляется путем проверки письменной работы и оценки по балльно-рейтинговой системе.

Кроме того, в учебно-методическое пособие включены задания для самостоятельной работы по темам:

8. Непрерывная случайная величина.

9. Цепи Маркова.

Контроль знаний по этим темам осуществляется при выполнении студентами контрольных работ и во время экзаменационного тестирования, в том числе и по тестовой базе Федерального агентства по образованию РФ.

Индивидуальная работа №1

Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Решить дифференциальные уравнения.

1. а) , ; б) ;

в) ; г) .

2. а) , ; б) ;

в) ; г) .

3. а) , ; б) ;

в) ; г) .

4. а) , ; б) ;

в) ; г) .

5. а) , ; б) ;

в) ; г) .

6. а) , ; б) ;

в) ; г) .

7. а) , ; б) ;

в) ; г) .

8. а) , ; б) ;

в) ; г) .

9. а) , ; б) ;

в) ; г) .

10. а) , ; б) ;

в) ; г) .

11. а) , ; б) ;

в) ; г) .

12. а) , ; б) ;

в) ; г) .

13. а) , ; б) ;

в) Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.; г) .

14. а) , ; б) ;

в) ; г) .

15. а) , ; б) ;

в) ; г) .

16. а) , ; б) ;

в) ; г) .

17. а) , ; б) ;

в) ; г) .

18. а) , ; б) ;

в) ; г) .

19. а) , ; б) ;

в) ; г) .

20. а) , ; б) ;

в) ; г) .

21. а) , ; б) ;

в) ; г) .

22. а) , ; б) ;

в) ; г) .

23. а) , ; б) ;

в) ; г) .

24. а) , ; б) ;

в) ; г) .

25. а) , ; б) ;

в) ; г) .

26. а) , ; б) ;

в) ; г) .

27. а) , ; б) ;

в) ; г) .

28. а) , ; б) ;

в) ; г) .

29. а) , ; б) ;

в) ; г) .

30. а) , ; б) ;

в) ; г) .

Рекомендуемая литература

1. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 10, №№10.9, 10.15, 10.25, 10.26, 10.37, 10.40, 10.45.

Индивидуальная работа №2

Основные понятия и теоремы теории вероятностей.

Индивидуальная работа №3

ЗАДАНИЕ 1

Задача 1. Вероятность стрелка попасть в цель при одном выстреле равна . Найти вероятность того, что при выстрелах стрелок попадает в цель:

а) раз;

б) не менее раз.

№ варианта
	0,7	0,9	0,4	0,8	0,5	0,4	0,6	0,3	0,3	0,2

Задача 2. На прием к врачу записались человек. Вероятность того, что пациенту потребуется сдать кровь на анализ, равна . Найти вероятность того, что необходимо сдать кровь на анализ:

а) пациентам;

б) не менее, чем пациентам.

№ варианта
	0,4	0,5	0,7	0,3	0,6	0,8	0,7	0,4	0,6	0,9

Задача 3. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение 5 лет, равна . Найти вероятность того, что из купленных телевизор в течение 5 лет потребуют ремонта:

а) телевизоров;

б) не менее телевизоров.

№ варианта
	0,2	0,1	0,3	0,4	0,7	0,5	0,6	0,4	0,8	0,3

ЗАДАНИЕ 2

Задача 1. Вероятность того, что завод выпускает телефонный аппарат высшего сорта, равна . Предприятие приобретает телефонных аппаратов. Найти:

а) наивероятнейшее число телефонных аппаратов высшего сорта и вероятность того, что именно это число телефонных аппаратов высшего сорта приобретено предприятием;

б) вероятность того, что среди приобретенных телефонных аппаратов окажется аппаратов высшего сорта.

№ варианта
	0,2	0,4	0,5	0,6	0,3	0,7	0,8	0,6	0,8	0,4

Задача 2. В магазин в день заходят человек. Вероятность того, что покупатель сделает покупку, равна . Найти:

а) наивероятнейшее число покупателей, которые сделают покупку, и вероятность того, что именно это количество человек сделают покупку;

б) вероятность того, что человек сделают покупку.

№ варианта
	0,3	0,4	0,5	0,4	0,3	0,3	0,4	0,3	0,2	0,1

Задача 3. Всхожесть семян равна . Посажено семян. Найти:

а) наивероятнейшее число взошедших семян и вероятность того, что именно это количество семян взойдет;

б) вероятность того, что взойдет семян.

№ варианта
	0,8	0,6	0,5	0,7	0,8	0,8	0,7	0,9	0,7	0,6

ЗАДАНИЕ 3

Задача 1. В районе предприятий, финансовую деятельность которых проверяет налоговая инспекция. Вероятность того, что по результатам проверки предприятию будут предъявлены штрафные санкции, равна Найти вероятность того, что штрафные санкции будут предъявлены:

а) не менее и не более предприятиям;

б) не менее предприятиям.

№ варианта
	0,4	0,3	0,6	0,5	0,4	0,8	0,6	0,4	0,6	0,5

Задача 2. Вероятность того, что абитуриент вуза, окончивший школу, станет студентом, равна . Найти вероятность того, что среди абитуриентов вуза, окончивших школу, студентами станут:

а) не менее и не более человек;

б) не менее человек.

№ варианта
	0,6	0,7	0,8	0,6	0,5	0,9	0,8	0,7	0,6	0,9

Задача 3. Вероятность изготовления на станке детали первого сорта равна . Изготовлено деталей. Найти вероятность того, что деталей первого сорта будет изготовлено:

а) не менее и не более ;

б) не менее штук.

№ варианта
	0,5	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,4

ЗАДАНИЕ 4

Задача 1. За день обувной отдел магазина посещают человек. Вероятность того, что спрос покупателя будет удовлетворен, равна . Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения доли покупателей, сделавших покупку, от вероятности не превысит .

№ варианта
	0,4	0,3	0,2	0,6	0,5	0,7	0,5	0,6	0,8	0,3
	0,01	0,02	0,05	0,04	0,03	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05

Задача 2. Вероятность того, что после вызова машина скорой помощи прибудет в течение 10 минут, равна . На станцию в течение дня поступило вызовов. Найти вероятность того, что абсолютная величина отклонения доли машин, прибывших вовремя, от вероятности не превысит .

№ варианта
	0,7	0,6	0,5	0,4	0,3	0,5	0,4	0,3	0,2	0,1
	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05

Задача 3. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, что бы с вероятностью, равной , можно было утверждать, что абсолютная величина отклонения частности выпадения шести очков от вероятности выпадения шести очков в одном испытании не превысит ?

№ варианта
	0,9545	0,95	0,9973	0,9426	0,6873	0,9426	0,9545	0,95	0,9973	0,6873
	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05

Рекомендуемая литература

1. Математика для экономических специальностей вузов. Ч. 2 / Под ред. Р.Ш. Марданова – Казань: Изд-во КФЭИ, 2001. - Гл.. 14, с. 29 – 42.

2. Сборник задач по математике для экономистов: учебное пособие под ред. проф. Р.Ш. Марданова. – Казань: Изд-во КГУ, 2009. - Гл.. 12, №№12.35 – 12.55.

Индивидуальная работа №4

Индивидуальная работа №5

Выборочный метод

Типический отбор

N, n – объемы соответственно генеральной и выборочной совокупностей;

– число типических групп;

– число вариант в j-ой группе ;

, - объемы j-ой типической группы соответственно генеральной и выборочной совокупностей;

– коэффициент пропорциональности отбора;

, , , .

Теорема Чебышева – Ляпунова

для средней:

,

для доли:

.

Выборочные характеристики в типических группах:

, , ,

где - число единиц, обладающих изучаемым (характерным) признаком в j-ой типической группе.

Общие выборочные характеристики:

,

,

,

.

Предельные ошибки:

, ,

где

Доверительный интервал

для средней:

,

для доли:

.

Задача 1. Для определения средней урожайности пшеницы в области произведена 20% типическая выборка с отбором единиц пропорционально посевной площади участков. Результаты выборки представлены в таблице.

Участки	Урожайность пшеницы (ц/га)
16,5 – 17,5	17,5 – 18,5	18,5 – 19,5	19,5 – 20,5	20,5 – 21,5
I	Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.		Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.
II
III			Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.

I. Определить

а) Средние урожайности и дисперсии по участкам.

б) Доли участков с урожайностью не мене 18,5 ц/га по участкам.

Результаты считать с тремя знаками после запятой. Сам результат округлить до двух знаков после запятой.

Результаты разместить в таблице

I
II
III

II. Определить

1) с вероятностью 0,9545 доверительный интервал, в котором заключена средняя урожайность пшеницы в области; 2) с вероятностью 0,9973 доверительный интервал для доли посевной площади, имеющей урожайность не менее 18,5 ц/га.

Номер варианта
Номер варианта

Задача 2. В районе N семей, из них – число семей рабочих, – число семей служащих, – число семей колхозников. Для определения числа детей в семье была проведена 10%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности единиц типических групп (внутри типических групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты выборки представлены в таблице.

Типы семей	Число семей в районе	Среднее число детей в семье	Среднее квадратическое отклонение
Рабочие
Служащие
Колхозники

Номер варианта
				2,5 2,6 2,1 1,8 1,5	1,8 1,5 1,9 2,5 1,4	2,2 2,0 1,4 2,2 2,0	0,5 0,6 0,7 1,0 0,9	1,0 0,5 0,4 0,7 1,0	0,7 0,9 0,6 0,5 0,6
Номер варианта
				1,2 2,2 2,0 1,3 2,2 1,4 2,1 2,5 1,5 2,1 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 2,0 2,1 1,5 2,5 2,0 1,7 2,0 1,2 1,6	1,6 1,8 1,9 2,3 2,5 1,6 1,3 2,2 1,4 1,3 2,2 1,6 1,5 2,0 1,3 1,1 1,5 1,4 0,9 2,0 1,0 1,1 2,5 1,5 0,9	2,3 2,5 2,0 1,6 1,8 0,9 1,0 1,8 0,8 1,2 2,5 1,4 1,3 2,5 1,5 1,0 2,5 1,4 1,7 1,5 1,4 1,4 1,5 2,1 1,1	0,7 0,7 1,0 0,8 0,5 0,6 0,7 1,0 0,9 1,0 0,7 0,6 0,8 1,5 0,9 0,6 0,5 0,9 0,7 1,5 0,5 0,7 1,0 0,6 0,5	0,8 0,5 0,6 0,7 0,7 0,5 0,4 0,5 0,8 0,7 1,0 0,4 0,9 0,8 0,7 0,5 1,5 0,7 0,8 1,0 0,6 0,8 0,7 0,8 0,4	0,9 1,0 0,8 0,9 1,0 0,3 0,4 0,7 0,5 0,7 0,5 0,5 0,6 1,0 0,6 0,3 1,0 0,4 0,5 0,8 0,7 0,8 0,5 1,0 0,3

С вероятностью 0,9545 определить доверительный интервал, в которых находится среднее число детей в семье по данному району.

Задача 3. Для определения доли рабочих завода, не выполняющих норму выработки, была произведена 10%-ная типическая выборка рабочих с отбором числа рабочих пропорционально численности типических групп (внутри типических групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты выборки представлены в таблице.

Цехи	Число рабочих в выборке	Доля рабочих, выполняющих норму выработки (%)
I
II
III

Номер варианта

С вероятностью 0,9545 определить доверительный интервал, в котором находится доля рабочих завода, не выполняющих норму выработки.

Задача 4. Для определения доли рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет, произведена 10%-ная типическая выборка служащих с отбором единиц пропорционально численности типических групп (внутри типических групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты выборки представлены в таблице.

Цехи	Число рабочих в выборке	Доля рабочих, выполняющих норму выработки (%)
I
II	Пункт 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли Дифференциальные уравнения 1-ого порядка и уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка Даны дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. ЗАНЯТИЕ 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые допускают понижение порядка Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Понятие о краевых задачах для дифференциальных уравнений. Уравнения, допускающие понижение порядка. ← Предыдущая страница | Следующая страница →