Формула полной вероятности. формула байеса

Пусть нам требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из попарно несовместных событий Н₁, Н₂, ..., Н_n, исчерпывающиех в сумме всё множество элементарных событий, образующих полную группу событий. События Н₁, Н₂, ..., Н_n будем называть гипотезами. Имеем А = АН₁ + АН₂ + ... + АН_n , причем АН₁, АН₂, ... АН_n ­– попарно несовместны. Применяя теоремы пятого параграфа, получим

.

Это есть формула полной вероятности, с помощью которой решается широкий класс задач.

В тесной связи с формулой полной вероятности находится формула Байеса. Она относится к той же ситуации, когда событие А наступает только вместе с одной из гипотез и позволяет оценить вероятность гипотезы после того, как событие А произошло.

Пусть произведен опыт и наступило событие А. Мы не можем с точностью сказать, какая из гипотез осуществилась, однако можем найти вероятность каждой из них. По формуле условной вероятности, .Отсюда

.

Это и есть формула Байеса. Здесь Р(А) находится по формуле полной вероятности, H_i (i=1,2,...,n) – любая из гипотез, а Р(Н_i/А) – вероятность этой гипотезы при условии, что произошло событие А.

Примеры.

1.Имеются 3 одинаковых коробки, содержащие по 20 лампочек. В 1-й коробке – 2 бракованные лампочки, во второй – 4, в третьей – 5. Наугад выбирается коробка, а из нее наугад одна лампочка. Какова вероятность, что эта лампочка бракованная?

Решение. Событие А: {взята бракованная лампочка}.

Введем 3 гипотезы: : {выбрана 1-я коробка}, : {выбрана 2-я коробка}, : {выбрана 3-я коробка}. Поскольку все коробки одинаковые, то P(H₁) = P(H₂) = P(H₃) = 1/3.

и несовместны, следовательно, гипотезы образуют полную группу событий.

Условная вероятность того, что взята бракованная лампочка, при условии, что она выбрана из первой коробки . Аналогично находятся две другие условные вероятности .

По формуле полной вероятности .
Ответ: 0,18.

2.Из полного набора костей домино извлечена одна кость. Найти вероятность того, что вторую наугад извлеченную кость можно приставить к первой согласно правилам игры.

Решение. Событие А: {вторую кость можно приставить к первой}. Если первая кость окажется дублем, вероятность события А будет меньше, чем если бы она была не дублем.

Поэтому возникают две гипотезы: : {первая кость – дубль}, : {первая кость – не дубль}.

Находим . Если первая кость – дубль, то найдутся 6 из 27 оставшихся костей, которые можно приставить к первой, а если не дубль, то их будет 12. Поэтому . По формуле полной вероятности .
Ответ: 7/18.

3. Часы одной марки изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 20 % всей продукции, второй – 30, третий – 50 %. В продукции первого завода спешат 5 % всех часов, второго – 3, третьего – 2 %. Какова вероятность того, что купленные в магазине часы спешат?

Решение. Пусть событие А: {купленные часы спешат}. Тогда возможны следующие гипотезы: H₁: {часы изготовлены на первом заводе}; H₂: {часы изготовлены на втором заводе}; H₃: {часы изготовлены на третьем заводе}. , , . и несовместны, следовательно, гипотезы образуют полную группу событий. Условная вероятность того, что купленные часы спешат, при условии, что они куплены на первом заводе, будет равна . Аналогично находятся , .

Тогда, по формуле полной вероятности, имеем:

Ответ: 0,029.

4.В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92 % случаев. Необходимо: 1) найти вероятность того, что поступивший телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока; 2) проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил это телевизор?

Решение: 1) пусть события А: {телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока}; : {телевизор поступил в торговую фирму от первого поставщика}; : {телевизор поступил от второго поставщика}; : {поступил в торговую фирму от третьего поставщика}. По условию

Условная вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока при условии, что он поступил от первого поставщика, будет равна . Аналогично,

и

По формуле полной вероятности

;

2) событие : {телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока}, тогда . По условию

, , .

По формуле Байеса, имеем:

Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы увеличилась с 0,4 до максимальной 0,533, а гипотезы – уменьшилась от максимальной 0,5 до 0,444; если ранее наиболее вероятной была гипотеза , то теперь наиболее вероятна гипотеза – поступление данного телевизора от второго поставщика.

5. На базупоступают изделия с трех заводов. Первый завод поставляет продукции в полтора раза больше, чем второй, и на одну треть меньше, чем третий. В продукции первого завода изделия высшего качества составляют 90 %, в продукции второго – 85 и в продукции третьего – 80 %. Найти вероятность того, что наудачу взятые на базе изделия будут высшего качества.

Решение. Рассмотрим событие А: {взятое изделие высшего качества}. Рассмотрим гипотезы: H₁: {изделие изготовлено на первом заводе}; H₂: {изделие изготовлено на втором заводе}; H₃: {изделие изготовлено на третьем заводе}.

Так как события H₁, H₂, H₃ образуют полную группу событий и событие А может наступить с одним из этих событий-гипотез, то для нахождения вероятности события А можно воспользоваться формулой полной вероятности. Вычислим вероятности событий H₁, H₂, H_3. Пусть первый завод поставляет х изделий, тогда второй – , третий – . Вместе они поставляют 3х изделий. Следовательно, доля в поставках первого завода равна , второго – , третьего – . Значит, ;

.

Тогда, используя формулу полной вероятности, находим:

Ответ: 0,73.

6.В каждой из двух урн содержится по 6 черных и 4 белых шара. Из урны 1 в урну 2 наудачу переложили один шар. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из урны 2 после перекладывания, окажется черным.

Решение. Событие А: {шар, извлеченный из урны 2 – черный}. Рассмотрим гипотезы: H₁: {из урны 1 в урну 2 переложили черный шар}; H₂: {из урны 1 в урну 2 переложили белый шар}.

; . Из урны 1 в урну 2 переложили черный шар, следовательно, там стало 11 шаров, из которых 7 – черных, значит, условная вероятность равна: . Аналогично, . Тогда полная вероятность равна:

.

Ответ: 0,6.

7.Два охотника одновременно стреляют одинаковыми пулями в медведя. В результате медведь был убит одной пулей. Как охотники должны поделить шкуру убитого медведя, если известно, что вероятность попадания у первого охотника – 0,3, у второго – 0,6?

Решение. Пусть событие А: {медведь был убит одной пулей}.

Определим гипотезы: H₁: {попал первый охотник, второй промахнулся}; H₂: {попал второй, первый промахнулся}. События H₁и H₂несовместны, однако не составляют полной группы событий. Введем еще две гипотезы: H₃: {попали оба охотника}, H₄: {оба охотника промахнулись}. Событие А может происходить тогда и только тогда, когда произошла либо гипотеза H₁, либо H₂. Тогда:

; .

Кроме того, делая естественное предположение, что попадания охотников в медведя не зависят друг от друга, получаем:

; ;

; .

Теперь находим:

.

.

Таким образом, при справедливом дележе первый охотник должен получить 2/9 шкуры, то есть меньше 1/4, в то время как, на первый взгляд, казалось, что ему причитается 1/3 шкуры.

8.В группе 15 студентов. Из них: 5 «отличников», 7 «четверочников», 3 «троечника». Известно, что «отличник» с вероятностью 0,9 получает на каждом экзамене «отлично» и с вероятностью 0,1– «хорошо». Аналогично, «четверочник» с вероятностью 0,1 получает «отлично», с вероятностью 0,7 – «хорошо» и с вероятностью 0,2 – «удовлетворительно». Наконец, «троечник» получает с вероятностью 0,1 «отлично», с вероятностью 0,2 – «хорошо» и с вероятностью 0,7 – «удовлетворительно». Некоторый студент из этой группы получил на первом экзамене «хорошо». Найти вероятность того, что на следующем экзамене он получит «отлично».

Решение. Опыт состоит в последующей сдаче двух экзаменов. Событие А: {студент сдал первый экзамен на «хорошо»}, событие В: {второй экзамен на «отлично»}. Ясно, что в качестве гипотез надо взять: H₁: {студент «отличник»}; H₂: {студент «четверочник»}; H₃: {студент «троечник»}. Если бы нам необходимо было найти просто безусловную вероятность события В, то нужно было бы воспользоваться формулой полной вероятности, в которой ; . Однако нас интересует условная вероятность события В при условии А, поэтому мы сначала с помощью формулы Байеса найдем условные вероятности гипотез H_1, H₂ и H₃ при условии А. Поскольку

; , то имеем:

,

,

.

Таким образом, при полученной на первом экзамене оценке мы обязаны приписать нашему студенту новые вероятности: и того, что он «отличник», «четверочник» и «троечник». Теперь для вычисления условной вероятности воспользуемся формулой полной вероятности:

в которой вместо вероятностей и (i = 1,2,3) взяты условные вероятности и , а вместо условных вероятностей – условные вероятности . Тогда, предполагая, что для студента одной успеваемости результат следующего экзамена не зависит от результата предыдущего, т.е.

,

получаем окончательно

Ответ: 1/6.

Задачи для самостоятельного решения

1.На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25, второй – 35, третий – 40 % всех замков. Брак составляет соответственно 5, 4 и 2 %. Необходимо: а) найти вероятность того, что случайно выбранный замок является дефектным; б) случайно выбранный замок является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором, третьем цехе? (а) 0,0345; б) 0,362; 0,408; 0,232).

2.Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый изготовил 40 изделий, второй – 35, третий – 25. Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго – 0,02, у третьего – 0,01. Взятое изделие оказалось бракованным. Определить вероятность того, что это изделие сделал второй рабочий. (0,326).

3.На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем продукции с браком 4 %, вторая – продукции с браком 6 %. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие: а) окажется бракованным; б) изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным. (а) 0,045; б) 0,33).

4.В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна 0,9, а для туфель – 0,85. Проведена проверка одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно. Какова вероятность того, что это: а) сапоги; б) туфли? (а) 0,41; б) 0,59).

5.Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку. (0,667).

6.В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе №.1, 20 деталей – на заводе № 2, 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, есть 0,9; для деталей с заводов № 2 и № 3 эти вероятности составляют 0,6 и 0,8 (соответственно). Найти вероятность того, что деталь, наудачу извлеченная из ящика, окажется отличного качества. (0,78).

8.В первом ящике содержится 10 шаров, из них 8 – белых; во втором – 20, из которых 4 – белых. Из каждого ящика наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров взят один шар. Какова вероятность того, что он белый? (0,5).

9. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период экономического роста, равна 0,04, а в период экономического кризиса – 0,13. Предположим, что вероятность того, что начнется период экономического роста, равна 0,65. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит? (0,0715).

10. Рабочий обслуживает три станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго – 0,03, для третьего – 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего – в два раза меньше, чем второго. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной. (0,024).

11. При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, получающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с вероятностью 0,65, если председатель совета директоров уйдет в отставку, в случае же его отказа вероятность успеха равна 0,3. Предполагается, что вероятность ухода в отставку равна 0,7. Чему равна вероятность успеха сделки? (0,545).

12. Литье в болванках поступает из трех заготовительных цехов. Литье из первого цеха имеет 10 % брака; из второго – 20, из третьего – 15 %. Найти вероятность того, что взятая наугад болванка окажется без дефектов. (0,85).

13. Имеется 10 одинаковых по виду урн, в девяти из которых находится по 2 черных и 2 белых шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из наугад взятой урны извлечен один шар. Чему равна вероятность того, что этот шар взят из урны, содержащей 5 белых шаров, если он оказался белым? (0,16).

14. Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку. Он полагает, что участок будет продан с вероятностью 0,9 (если экономическая ситуация в стране не будет ухудшаться) и с вероятностью 0,5 в противном случае. Экономист, консультирующий агента, полагает, что с вероятностью равной 0,7 экономическая ситуация в стране будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в ближайшее время? (0,62).

15. Путешественник, заблудившись в лесу, вышел на поляну, откуда вело 5 дорог. Известно, что вероятности выхода из леса за час для различных дорог соответственно равны 0,6, 0,3, 0,2, 0,1, 0,1. Чему равна вероятность того, что заблудившийся пошел по первой дороге, если известно, что он вышел из леса за час? (0,462).

16.Тест на возможность вирусного заболевания дает следующие результаты: если проверяемый болен, то тест дает положительный результат с вероятностью 0,98, а если проверяемый здоров, то тест дает положительный результат с вероятностью 0,04. Поскольку заболевание редкое, то ему подвержено только 0,1 % населения. Предположим, что некоторому человеку сделан анализ и получен положительный результат. Чему равна вероятность того, что человек действительно болен? (0,0225).

17.Среди студентов института по результатам зимней сессии 30 % первокурсников имеют только отличные оценки, среди второкурсников таких студентов 35, на третьем и четвертом курсах их 20 и 15 %. По данным деканата известно, что на первом курсе 20 % студентов сдали сессию на отлично, на втором – 30, на третьем – 35, на четвертом – 40 %. Чему равна вероятность того, что студент или студентка оказался третьекурсником? (0,2373).

18.Установлено, что мужчины и женщины по – разному реагируют на некоторые жизненные ситуации. Результаты показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на какие-либо заданные ситуации, в то время как 40 % мужчин на те же ситуации реагируют негативно. 15 женщин и 5 мужчин заполнили анкету, в которой отразили свое отношение к предлагаемым ситуациям. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина? (0,3076).

19.Из числа авиалиний некоторого аэропорта 10 % – местные, 30 – по СНГ и 10 % – в дальнее зарубежье. Среди пассажиров местных авиалиний 50 % путешествуют по делам, связанным с бизнесом; на линиях СНГ таких пассажиров – 60, на международных – 90. Из прибывших пассажиров случайным образом выбирается один. Какова вероятность того, что он: а) бизнесмен; б) прибыл из страны СНГ по делам бизнеса; в) прилетел местным рейсом по делам бизнеса; г) прибыл международным рейсом? (а) 0,57; б) 0,5263; в) 0,3138; г) 0,1578).

20.Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный товар, равна 0,67. Вероятность того, что товар будет пользоваться спросом при наличии на рынке конкурирующего товара, равна 0,42. Вероятность того, что конкурирующая фирма выпустит аналогичный товар на рынке в течение интересующего нас времени, равна 0,35. Чему равна вероятность того, что товар будет иметь успех? (0,5825).

21. Для сдачи зачета студент должен решить первую же задачу из 50 имеющихся, из которых 20 – подифференциальному, а 30 – по интегральному исчислению. Найдите вероятность сдачи студентом зачета, если он умеет решать 18 задач по дифференциальным уравнениям и 15 – по интегралам. (0,66).

22.В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическими прицелами. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна – 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? (без оптического прицела).