Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором

. Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где − производная, а − компоненты векторной функции .

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением ,

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде , то площадь соответствуюшей области равна

Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси Ox

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости y ≥ 0 и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой C, обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области R вокруг оси Ox образуется тело Ω (рисунок 2). Объем данного тела определяется формулами

Криволинейные интегралы 2 рода

Предположим, что кривая C задана векторной функцией , где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой

Введем векторную функцию , определенную на кривой C, так, чтобы для скалярной функции

существовал криволинейный интеграл . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где − единичный вектор касательной к кривой C.

Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

где .

Если кривая C лежит в плоскости Oxy, то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

1.Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −Cкривую противоположного направления - от B к A. Тогда

2.Если C − объединение кривых C₁ и C₂ то

3.Если кривая C задана параметрически в виде , то

4.Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением (предполагается, что R =0и t = x), то последняя формула записывается в виде

Приложение формулы Грина для выч криволин интегр и площади

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

Тогда справедлива формула Грина

Если , то формула Грина принимает вид

где S − это площадь области R, ограниченной контуром C.

24.Независимость пути интегрирования кринтегр 2 рода

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция , такая, что

В этом случае криволинейный интеграл второго рода от функции вдоль кривой C от точки A до точки Bвыражается формулой

Таким образом, если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то для любого замкнутого контура C справедливо соотношение

Площадь поверхности

Пусть S является гладкой, кусочно-непрерывной поверхностью. Площадь поверхности определяется интегралом

Если поверхность S задана параметрически с помощью вектора

то площадь поверхности будет равна

где D(u,v) − это область, в которой задана поверхность.

Если поверхность S задана в явном виде функцией z(x,y), то площадь поверхности выражается формулой

где D(x,y) − проекция поверхности S на плоскость xy.

Масса оболочки

функцией плотности …

Сила притяжения поверхности

Пусть задана поверхность S, а в точке (x₀, y₀, z₀), не принадлежащей поверхности, находится тело массой m

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

где , G - гравитационная постоянная, .

Сила давления

Заряд поверхности

40. Формула Стокса и ее приложение

Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции

справедлива теорема Стокса:

Где − ротор векторного поля .

Будем предполагать, что ориентация поверхности и направление обхода кривой соответствуют правилу правой руки. В этом случае при обходе кривой поверхность всегда остается слева, если голова направлена в ту же сторону, что и вектор нормали (рисунок 1).

Теорема Стокса связывает между собой криволинейные интегралы второго рода и поверхностные интегралы второго рода.
В координатной форме теорема Стокса может быть записана в следующем виде:

Длина кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором

. Длина данной кривой выражается следующим криволинейным интегралом

где − производная, а − компоненты векторной функции .

Наконец, если кривая C задана в полярных координатах уравнением ,

Площадь области, ограниченной замкнутой кривой

Пусть C является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости Oxy Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется формулами

Если замкнутая кривая C задана в параметрическом виде , то площадь соответствуюшей области равна