В заданиях 71 – 80 найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж

К.А.Зиновьев, Е.С. Рогозина, А.З. Скопец, Л.П. Щипина

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению контрольной работы по дисциплине «Математика»

для студентов 1 курса инженерного факультета заочной формы обучения

МАТЕМАТИКА

Ярославль

Порядок выполнения контрольных работ

К выполнению каждой контрольной работы следует приступать только после изучения соответствующего материала в учебной литературе, список которой дан в каждой главе, и примеров решений задач, приведенных в данном пособии. Можно также использовать ресурсы сети Internet.

При этом необходимо руководствоваться следующими указаниями:

1. Контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, полный шифр, номер контрольной работы и дата её отправки в академию. Решения всех задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все вычисления необходимо делать полностью, чертежи должны быть выполнены аккуратно и четко, с указанием координатных осей, единиц масштаба и других элементов.

2. Студент выполняет вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой номера его зачетной книжки. Например, если номер зачетной книжки студента 02076, то он решает все задачи шестого варианта. Номера задач указаны в таблице 1.

3. Незачтённая работа возвращается студенту, который должен в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить ее на повторное рецензирование вместе с первоначальным текстом.

Таблица 1 – Распределение задач по вариантам

Вариант (последняя цифра номера зачетной книжки)	Номера задач

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Литература

1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. I-IV.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 1, 5.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. III.

Примеры решения задач

Задача №1. Даны вершины треугольника АВС: А(–2; 4), В(6; –2), С(8; 7). Найти: 1) периметр треугольника; 2) уравнения сторон в общем виде; 3) внутренний угол А в градусах; 4) координаты точки пересечения медиан Q; 5)уравнение высоты АD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС; 7) составить систему неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника АВС. Сделать чертеж.

Решение. 1) Расстояние между двумя точками А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) вычисляется по формуле

АВ = .

Подставив в нее координаты точек А и В, получаем:

АВ = = 10.

Аналогично находим ВС = ; АС = . Так как периметр Р треугольника равен сумме длин его сторон, то

Р = 10 + + .

C

A Q

2 D

E

–2 0 2 4 6 8 10 х

B

Рисунок 2 – Треугольник АВС на плоскости

2) Уравнение прямой, проходящей через точки А(х₁;у₁) и В(х₂;у₂) имеет вид

.

Подставив в него координаты точек А и В, получим уравнение прямой АВ

или 3х + 4у – 10 = 0.

Аналогично получаем уравнения прямых АС 3х – 10у + 46 = 0, и ВС 9х – 2у – 58 = 0.

3) Для нахождения внутреннего угла А треугольника воспользуемся формулой тангенса угла между двумя прямыми

.

Из рис. 1 следует, что в качестве k₁ следует взять угловой коэффициент прямой АВ, а в качестве k₂ - угловой коэффициент прямой АС. Чтобы найти угловой коэффициент прямой АВ, запишем ее уравнение в виде

.

Тогда . Следовательно, . Аналогично из уравнения прямой АС 3х – 10у + 46 = 0 находим . Подставив в формулу для вычисления tgA угловые коэффициенты и , получим:

.

Откуда .

4) Известно, что точка пересечения медиан Q делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда для отрезков медианы CE имеет место равенство: . Таким образом, координаты точки Q можно вычислить по формулам деления отрезка в данном отношении

, .

По этим формулам найдем координаты точки Е, делящей отрезок АВ пополам, при этом l = 1.

, .

Итак, Е(2; 1). Воспользуемся формулами деления отрезка в данном отношении для нахождения координат точки Q, подставив в них координаты точек С и Е, при этом l = 2:

.

Точка пересечения медиан треугольника Q(4; 3).

5) Высота АD перпендикулярна стороне ВС, поэтому угловые коэффициенты этих прямых обратны по величине и противоположны по знаку. Следовательно,

. Так как , то .

Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₁(х₁; у₁) имеет вид:

y – у₁ = k(x – x₁).

Подставив в него координаты точки А(–2; 4) и найденный угловой коэффициент , получаем уравнение высоты АD

или 2х + 9у – 32 = 0.

6) Обозначим искомую прямую L. Так как прямая L параллельна ВС, то их угловые коэффициенты равны, k_L = k_BC = . Подставим в уравнение y – у₁ = k(x – x₁) координаты точки А(–2; 4) и угловой коэффициент прямой L равный и получим искомое уравнение прямой L

9х – 2у + 26 = 0.

7) Множество точек треугольника АВС можно рассматривать как пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой АВ и содержит точку С, вторая ограничена прямой ВС и содержит точку А, третья – прямой АС и содержит точку В.

Подставив в левую часть уравнения прямой АВ координаты точки С, получим

3×8 + 4×7 – 10 > 0.

Следовательно, неравенство, определяющее первую из этих полуплоскостей, имеет вид

3х + 4у – 10 > 0.

Аналогично, вторая полуплоскость определяется неравенством

9х – 2у – 58 < 0, третья – 3х – 10у + 46 > 0.

Таким образом, множество точек данного треугольника АВС определяется системой неравенств

Вопросы для самопроверки

1. Как определяются декартовы координаты точки на плоскости?

2. Как вычислить расстояние между двумя точками?

3. Напишите формулы для определения координат середины отрезка.

4. Как найти координаты точки пересечения двух линий?

5. Что называется угловым коэффициентом прямой? Какие прямые не имеют угловых коэффициентов?

6. Сформулируйте признаки параллельности и перпендикулярности прямых?

7. Как найти угол между двумя прямыми, заданными своими уравнениями?

Тема 2. Введение в математический анализ

Литература

1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. VII.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 7.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. V.

Примеры решения задач

Задача 2. Найти предел функции

.

Решение. При непосредственной подстановке предельного значения х = 3, получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности сократим дробь предварительно разложив на множители числитель и знаменатель дроби.

= = = .

Задача 3. Найти предел функции

.

Решение. При непосредственной подстановке предельного значения х = 3, получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю . Такое преобразование даст возможность сократить дробь на множитель х–3, отличный от нуля при х ®3.

= = =

= = = .

Задача 4. Найти предел функции

.

Решение. Так как при х ® ¥ не существуют пределы числителя и знаменателя дроби , то получаем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на старшую степень переменной, то есть на х², а затем применим теоремы о пределах.

= = =

= = .

Задача 6. Найти предел функции

.

Решение. При непосредственной подстановке предельного значения х = 0, получаем неопределенность . Для раскрытия неопределенности используем первый замечательный предел , или, в другой форме, .

= = =

× = .

Задача 7. Найти предел функции

.

Решение. Для нахождения предела воспользуемся вторым замечательным пределом

.

Положим , тогда , при этом, если , то . Получим

= = = .

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение функции одной независимой переменной.

2. Что называется областью определения функции? Областью значений функции?

3.Какая функция называется возрастающей? Убывающей?

4. Дайте определение максимума и минимума функции.

5. Какая функция называется четной? Нечетной?

6. Какая функция называется периодической?

7. Какая функция называется сложной?

8. Дайте определение, сформулируйте основные свойства, начертите графики основных элементарных функций.

9. Что называется числовой последовательностью?

10. Что называется пределом числовой последовательности?

11. Сформулируйте основные теоремы о пределах.

12. Какая переменная величина называется бесконечно большой? Бесконечно малой? Какая связь между ними?

13. Что представляет собой первый замечательный предел?

14. Что представляет собой второй замечательный предел?

15. Дайте определение непрерывности функции в точке, в интервале.

16. Какая точка называется точкой разрыва функции?

Тема 3. Производная функции и ее приложения

Литература

1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. IX-XI.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 8.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. V.

Примеры решения задач.

Задача 8. Найти производную функции

.

Решение. Данная функция сложная и она может быть представлена в виде y = u, где

.

По правилу дифференцирования сложной функции . Для данной функции имеем

.

Используя формулы и , а также правила дифференцирования степенной функции и суммы функций, получаем

= .

Задача 9. Найти производную функции

.

Решение. По правилу дифференцирования частного

.

Используя далее формулы и , получаем

.

Задача 10. Найти производную функции

.

Решение. В данном случае целесообразно вначале упростить данное выражение, используя свойства логарифмов

=

.

Далее, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, получаем

=

=

.

Задача 11. Найти производную функции

.

Решение. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

=

= .

Задача 12. Найти производную функции

.

Решение. В данном случае функциональная зависимость задана в неявном виде. Для нахождения у¢ нужно продифференцировать по переменной х обе части уравнения, считая при этом у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно у¢.

, ,

,

,

,

.

Задача 13. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. Исследование функции предусматривает нахождение области определения, точек экстремума и интервалов возрастания и убывания, а также точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графиков функции.

1. Находим область определения функции.

Выражение имеет смысл при любом действительном значении аргумента х, следовательно, областью определения функции является множество действительных чисел .

2. Находим первую производную заданной функции:

или .

3. Критическими точками функции называются точки, в которых производная равна нулю или не существует. Найдем их.

, т. е. или , откуда и .

Других критических точек нет.

Обращение производной функции в нуль или ее отсутствие в точках, где функция определена, есть лишь необходимое условие существования экстремума функции в этих точках.

Достаточным условием существования экстремума функции в критической точке является изменение знака производной первого порядка при переходе через эту точку. В частности, если производная меняет знак с плюса на минус, то в критической точке функция имеет максимум. Если же при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция имеет минимум.

Определим, являются ли точки и точками экстремума. Они разбивают всю числовую ось на три промежутка, в которых определим знак производной с помощью «пробной» точки.

В интервале (–∞; 1) возьмем точку х = 0. Тогда

• •

Х

Рис. 5.

.

В интервале (1; 5) возьмем точку х = 2. Имеем

.

В интервале (5; ∞) – точку х = 6. В этом случае

.

Итак, в точке х = 1 мы имеем максимум данной функции, а в точке х = 5 – минимум. Найдем значение функции в точках экстремума:

у_max = y(1) = (1³ – 9∙1² + 15∙1 – 3) = 1.

у_min = у(5) = (5³ – 9∙5² + 15∙5 – 3) = – 7.

5. Если производная функции положительна внутри некоторого промежутка, то функция возрастает на этом промежутке. Если же производная отрицательна внутри некоторого промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Итак, данная функция возрастает на промежутках (–∞; 1) и (5; ∞), а убывает на промежутке (1; 5).Результат исследований п. 4 и п. 5 удобно представить в виде схемы.

+ – +

• •

1 5 х

Max min

Рис. 6.

6. Найдем вторую производную у″(х) данной функции

у″(х) = (3х² – 18х + 15)′ = (6х – 18).

Найдем точки, в которых вторая производная функции равна нулю

(6х - 18) = 0, откуда х = 3.

Точка х = 3 разбивает всю числовую ось на два интервала (–∞; 3) и (3; ∞). В интервале (–∞; 3) возьмем, например, точку х = 0 и определим в ней знак второй производной:

у″(0) = (6∙0 – 18) = < 0.

В интервале (3; ∞) возьмем, например, точку х = 4, тогда

у″(4) = (6∙4 – 18) = > 0.

Если вторая производная f″(х) положительна внутри некоторого промежутка, то график этой функции на этом промежутке вогнут вверх (или выпукл вниз). Если же вторая производная f″(х) внутри некоторого промежутка отрицательна, то график функции на этом промежутке вогнут вниз (или выпукл вверх).

На интервале (-∞; 3) график данной функции вогнут вниз, а на промежутке (3; ∞) вогнут вверх.

7. Если вторая производная f″(х) в некоторой точке х₀ обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, то точка является точкой перегиба графика функции . Итак, х = 3 – абсцисса точки перегиба. Найдем ее ординату

у(3) = (3³ – 9∙3² + 15∙3 – 3) = (–12 ) = -3.

Таким образом, точка (3; -3) - точка перегиба графика функции.

8. Строим график функции: у = (х³ – 9х² + 15х – 3) (рис.7).

1

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

-3

-4

-6

-7

Рис. 7.

Задача 14. Из квадратного листа жести со стороной aтребуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?

Решение. Обозначим сторону вырезаемого квадрата за х. (Рис. 8).

Х х

Рис. 8.

По условию задачи х удовлетворяет неравенству 0 < х < . Основанием получившейся коробки будет квадрат со стороной а – 2х, высота коробки будет равна х.

V¢(x) = a² – 8ax + 12x², a² – 8ax + 12x² = 0, откуда

, .

Второй корень не удовлетворяет неравенству 0 < х < , следовательно сторона вырезаемого квадрата будет равна одной шестой части стороны данного листа жести, объем коробки будет наибольшим.

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение производной функции.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. В чем заключается физический смысл производной?

4. Сформулируйте правила дифференцирования суммы, произведения, частного.

5. Приведите формулы дифференцирования основных функций.

6. Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

7. Что называется дифференциалом функции? Каков его геометрический смысл?

8. Что называется производной второго порядка? Каков физический смысл производной второго порядка?

9. Сформулируйте признаки возрастания (убывания) функции в данном промежутке.

10. Какие точки называются критическими? Как найти эти точки?

11. Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции.

12. Сформулируйте достаточные признаки существования экстремума функции.

13. Дайте определение выпуклости, вогнутости кривой.

14. Что называется точкой перегиба графика функции?

15. Какова схема исследования функции на экстремум с помощью первой производной?

Тема 4. Неопределенный интеграл

Литература

1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. ХIII.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 6.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. VII.

Примеры решения задач

Задача 15.Найти интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, а затем применяем свойства неопределенного интеграла и табличные интегралы

и .

Получаем:

= = = =

= = = .

Задача 16. Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному , положим , тогда . Произведем замену в подынтегральном выражении

= = .

Задача 17. Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим . Тогда или . Отсюда . Выполнив замену в подынтегральном выражении, получаем

= = = = = = .

Задача 18. Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному, положим . Тогда или . Выполнив некоторые преобразования подынтегрального выражения, произведем замену переменной:

= = = .

Задача 19.Найти интеграл .

Решение. Чтобы привести данный интеграл к табличному , положим , тогда или . Заметив, что числитель подынтегрального выражения отличается от дифференциала переменной t лишь на постоянный множитель, произведем замену

= = = = .

Задача 20.Найти интеграл .

Решение. Для нахождения данного интеграла применим формулу интегрирования по частям: .

Положим , . Тогда , .

Отсюда

.

В интеграле применим подстановку , откуда

, или . Следовательно,

= = = .

Окончательно имеем: .

Задача 21.Найти интеграл .

Решение. Для нахождения данного интеграла также используем формулу интегрирования по частям. Положим u=x² и dv=sinx×dx. Тогда du=2xdx и . Отсюда

= -x²cosx + = -x²cosx + .

Для нахождения опять воспользуемся методом интегрирования по частям, положив u=x, а dv=cosx dx. Тогда du=dx и v=sinx. Окончательно получим

=

Задача 22.Найти интеграл .

Решение. Применяя метод интегрирования по частям, положим u=sin2x, dv=e^x dx. Тогда du=2cos2x dx и v=e^x. Получим

=

Для нахождения применим метод интегрирования по частям еще раз, положив u=cos2x, dv=e^x dx. Тогда du=-2sin2x dx и v=e^x. Получим:

=

Или:

=

Выразим искомый интеграл из полученного равенства и добавим константу интегрирования:

+ 4 =

5 =

= .

Вопросы для самопроверки

1. Какая функция называется первообразной для данной функции?

2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

3. В чем сущность интегрирования методом замены переменной?

4. Выведите формулу интегрирования по частям.

Тема 5. Определенный интеграл

Литература

1.Демидович Б.П., Кудрявцев В.А., Краткий курс высшей математики. М. Астрель-АСТ. 2001. Гл. ХIV, XV.

2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика. М. Владос. 2002. Гл. 6.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс. 2000. Ч. 1. Гл. VIII.

Примеры решения задач.

Задача 23. Вычислить определенный интеграл

.

Решение. Данный интеграл приводится к табличному с помощью подстановки t = lnx. Отсюда . Определим пределы интегрирования новой переменной. При х = 1, t = ln1 = 0, при х = е, t = lne = 1. Произведем замену переменной и используем формулу Ньютона–Лейбница.

= = = arcsin1 – arcsin0 = .

Задача 24. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию

= = = .

Обозначим t = e^x, тогда dt = e^x dx. Определим пределы интегрирования новой переменной. При х = 0, t = e⁰ = 1, при х = 1, t = e¹ = e. Тогда

= = = =

= = .

Задача 25. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям для определенного интеграла

.

Положим u = ln(x² +4), dv = dx, тогда , v = x. Имеем

= = =

= = =

= 2 ln(4 + 4) – 0 – 2 (2 – 0 – 2arctg1 + 2 arctg0) =

= 2 ln8 – 2(2 – 2 + 2×0) = 2 ln2³ – 4 + p = 6 ln2 – 4 + p.

Задача 26. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y = x², , y = 0, x = 2 (x > 0).

Решение. Данную фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции, площади которых соответственно равны: S₁ и S₂. (Рис. 9).

Тогда S = S₁ + S₂. Найдем абсциссу точки А –точки пересечения двух линий.

Отсюда , или х⁴ = 1, то есть х₁ = –1 и х₂ = 1. Так как по условию x > 0, то абсцисса точки А равна 1.

у

2,0

1,5

1,0

0,5 у = 1/х

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 х

Рис. 9.

Следовательно,

= , и тогда

( кв.ед.).

Задача 27. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

и прямой y = x + 2.

Решение. 1. Изобразим данные линии на чертеже и заштрихуем фигуру, площадь которой нужно найти. Графиком функции является парабола. Найдем производную данной функции и, приравняв ее к нулю, определим критическую точку.

.

Пусть y′ = 2 – х = 0. Отсюда х = 2. Это – абсцисса вершины параболы. Ордината вершины . Ветви параболы направлены вниз. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох, положив у = 0. Тогда или . Решив данное квадратное уравнение, получим х₁ = -2 и х₂ = 6. Строим параболу (рис. 10).

У

8

у = х + 2

6

4

2

–2 0 2 4 6 х

Рис. 10.

2. Графиком функции у = х + 2 является прямая, для ее построения достаточно двух точек. При х = 0, у = 2, при х = 2, у = 4. Строим прямую.

3. Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу – непрерывной кривой находится по формуле: