Авторы: канд. физ.-мат. наук с.д. филиппов

Авторы: канд. физ.-мат. наук С.Д. Филиппов

канд. физ.-мат. наукА.В. Шитиков

ст. преподаватель Т.А. Серова

Одобрены на заседании кафедры высшей математики.

Протокол от 02.10.2012 № 2

Заведующий кафедрой Е.А.Перминов

Рекомендованы к печати методической комиссией МаИ РГППУ.

Протокол от 05.10.2012 №2

Председатель методической

комиссии МаИ РГППУ А.В.Песков

Директор МаИ А.А.Жученко

© ФГАОУ ВПО «Российский

Государственный профессионально-

педагогический университет», 2012

Цель контрольных работ – закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала по данной дисциплине, а также выявление их умения применять полученные знания на практике.

Указания к выполнению контрольных работ

При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться следующими требованиями:

1. Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера зачетной книжки.

2. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради.

3. На обложке тетради должны быть ясно написаны название дисциплины, номер контрольной работы, фамилия студента, его инициалы, номер группы и шифр специализации, шифр зачетной книжки.

4. В начале работы должен быть указан номер варианта задания.

5. Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие.

6. Решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями.

7. В конце работы должна стоять подпись студента с указанием даты ее выполнения.

8. Перечень заданий к контрольным работам приводится в таблицах 1, 2

Таблица 1. Список номеров заданий к контрольным работам для студентов, обучающихся по профилю подготовки «Машиностроение и материалообработка», «Транспорт», «Металлургия» (все профилизации), полный срок обучения

	1 семестр	2 семестр	3 семестр
Контр. раб.1	Контр. раб.2	Контр. раб.3
Номера заданий	11-20	151-160	351-360
51-60	191-200	371-380
91-100	231-240	321-330
111-120	261-270	341-350
131-140	281-290	421-430
141-150	301-310	441-450

Таблица 2. Список номеров заданий к контрольным работам для студентов, обучающихся по профилю подготовки «Машиностроение и материалообработка», «Транспорт», «Металлургия» (все профилизации), сокращённый срок обучения

	1 семестр	2 семестр	2 семестр
Контр. раб.1	Контр. раб.2	Контр. раб.3
Номера заданий	11-20	231-240	321-330
51-60	251-260	341-350
91-100	261-270	351-360
111-120	281 (а,б)-290(а,б)	421-430
131-140	301-310	441-450
141-150
191-200

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Введение в математический анализ

91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z³+a=0.

91. . 92. .

93. . 94. .

95. . 96. .

97. . 98. .

99. . 100. .

111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

111. а) ; б) ;

в) ; г) .

112. а) ; б) ;

в) ; г) .

113. а) ; б) ;

в) ; г) .

114. а) ; б) ;

в) ; г) .

115. а) ; б) ;

в) ; г) .

116. а) ; б) ;

в) ; г) .

117. а) ; б) ;

в) ; г) .

118. а) ; б) ;

в) ; г) .

119. а) ; б) ;

в) ; г) .

120. а) ; б) ;

в) ; г) .

Производная и её приложения

141-150. Найти производные данных функций.

141. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

142. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

143. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

144. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

145. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

146. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

147. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

148. а) ; б) ;

в) ; г) ; д) .

149. а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

150. а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) .

191-200. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.

191. . 192. .

193. . 194. .

195. . 196. .

197. . 198. .

199. . 200. .

Дифференциальные уравнения

321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.

321. . 322. .

323. . 324. .

325. . 326. .

327. . 328. .

329. . 330. .

341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .

341. ; , .

342. ; , .

343. ; , .

344. ; , .

345. ; , .

346. ; , .

347. ; , .

348. ; , .

349. ; , .

350. ; , .

Ряды

421-430. Исследовать сходимость числового ряда.

421. . 422. .

423. . 424. .

425. . 426. .

427. . 428. .

429. . 430. .

431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.

431. . 432. .

433. . 434. .

435. . 436. .

437. . 438. .

439. . 440. .

441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.

441. . 442. .

443. . 444. .

445. . 446. .

447. . 448. .

449. . 450. .

451 – 460.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

451.

452.

453.

454.

455.

456.

457.

458.

459.

460.

Задания 11 – 20

Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие [5]

Гл. I –IV, стр.39 – 91.

В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

1. длину ребра АВ;

2. угол между ребрами АВ и AS;

3. угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;

4. площадь основания пирамиды;

5. объем пирамиды;

6. уравнение прямой АВ;

7. уравнение плоскости АВС;

8. проекцию вершины S на плоскость АВС;

9. длину высоты пирамиды

SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).

Решение

1) Длину ребра АВ находим по формуле расстояния между двумя точками:

2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:

3) Найдем координаты вектора

Найдем координаты вектора

Он перпендикулярен плоскости (грани) ABC, поэтому угол между ребром AS и гранью ABC является дополнительным к углу α между векторами

α

φ

Отсюда получаем

4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:

,

5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Формула для нахождения объема V пирамиды:

7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)

6) Уравнение прямой , проходящей через точки

Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой

7) Запишем уравнение плоскости (ABC) перпендикулярной вектору , проходящей через точку А(-3;0;0)

8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняютсяследующие действия:

а) составляется уравнение высоты пирамиды .

б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.

Решение: SO –высота пирамиды, перпендикулярна плоскости (ABC), следовательно, прямая (SO) параллельна вектору или - нормали плоскости (ABC.

Он будет направляющим для По уравнению координаты вершины , т.е.

. Так как точка О – пересечение прямой (SO) и плоскости (ABC), то ее координаты удовлетворяют системе уравнений

, которую можно решить подстановкой

Подставив во второе уравнение, найдём значение , и следовательно значения

Точка - проекция точки на плоскость

9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле расстояния между точками S и O или по формуле расстояния d от точки до плоскости :

Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).

Задания 51 – 60

Дана система линейных уравнений

Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.

а) Матричный метод

Данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:

Находим обратную матрицу

Находим матрицу

б) Метод Крамера

- формулы Крамера.

Вычислим все определители

в) Метод Гаусса

Составим расширенную матрицу и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.

Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдём . .

Вторая строка соответствует уравнению:

или

Аналогично из первой строки напишем уравнение:

Итак:

Задания 91 – 100.

Дано комплексное число

Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения

Рекомендуемая литература : Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.

Найдём алгебраическую форму комплексного числа

Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .

Изобразив число на плоскости, найдём и .

-1

Итак, число

Найдём корни уравнения

вычислим по формуле Муавра

Задания 111 – 120

Вычислить пределы:

а)

За скобку выносили наивысшую степень для числителя и знаменателя.

б)

Для исключения неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.

в)

В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые ,например

г)

д) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю.

Задания 111 – 120

Задана функция Найти точки разрыва, если они существуют.

Сделать чертёж.

.

Кусочно-заданная функция представлена функциями, непрерывными на данных интервалах.

Проверим непрерывность в граничных точках.

найдём односторонние пределы

Левосторонний и правосторонний пределы равны и равны значению функции в точке . Значит функция в этой точке непрерывна.

аналогично

Пределы различны, значит в точке функция имеет разрыв с конечным скачком.

График функции выполните самостоятельно.

Обратите внимание на учебное пособие [5] , ч.I , гл.IV, §§4 – 6.

Задания 141– 150

Найти производные следующих функций:

а) б) ;

в) г) ;

д) .

б)

в)

г)

Прологарифмируем обе части равенства

Продифференцируем обе части равенства

д)

Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.

Задания 151 – 160

Найти функций:

Решение:

а)

б)

Задания 191 – 200

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.

Рассмотрим свойства функции:

1. Область определения:

2. Чётностьь, нечётность функции:

Функция общего вида.

3. Асимптоты.

а) Так как , то прямая является вертикальной асимптотой:

б) – наклонная асимптота.

Найдём

Найдём

– уравнение наклонной асимптоты.

4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:

Так как то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.

Производная на всей области определения, значит функция

убывает.

5. Точки пересечения с координатными осями

а) с осью при ,

б) с осью при .

Используя исследование функции, строим график (схематично).

Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие [5]? Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.

Задания 231-240

Показать, что функция удовлетворяет равенству:

Находим частные производные по и по :

Подставим в равенство частные производные.

;

Равенство верно.

Задания 251-260

Найти наименьшее и наибольшее значения функции

в области D=(ABCD):

y

В С

2 А D

0 1 2 x

а) Найдём стационарные точки

Точка - стационарная, но не принадлежит области D.

б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD

АВ:

Функция возрастает на границе АВ

ВС:

На границе ВС функция возрастает

Значит, на границе функция возрастает

Значит на границе функция возрастает

Найденные значения z сравним и выделяем

Задания 261 – 270

Дана функция точка и вектор

Найти в точке и производную в точке по направлению вектора .

Найдём частные производные и вычислим их значение в точке .

– направляющие косинусы вектора

Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260 , 261 – 270 – пособие [5],

гл. VIII §§1-2, §4.

Задания 281 – 290

Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.

Решение:

Проверка:

Метод интегрирования по частям для функции

Формула:

Проверка:

Найдём коэффициенты

Задания 301– 310

Вычислить несобственный интеграл

Несобственный интеграл расходится.

Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии [5], ч. I, гл. IХ. §§1-4.

Задания 321– 330

В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

.

Уравнение является однородным.

Функции однородные второго порядка.

Уравнение можно привести к виду

разделить обе части на а затем на .

Введём п