Авторы канд. физ.-мат. наук с.д. филиппов
Авторы канд. физ.-мат. наук С.Д. Филиппов
канд. физ.-мат. наукА.В. Шитиков
ст. преподаватель Т.А. Серова
Одобрены на заседании кафедры высшей математики.
Протокол от 02.10.2012 № 2
Заведующий кафедрой Е.А.Перминов
Рекомендованы к печати методической комиссией МаИ РГППУ.
Протокол от 05.10.2012 №2
Председатель методической
комиссии МаИ РГППУ А.В.Песков
© ФГАОУ ВПО «Российский
Государственный профессионально-
педагогический университет», 2012
Цель контрольных работ – закрепление и проверка знаний, полученных студентами в процессе самостоятельного изучения учебного материала по данной дисциплине, а также выявление их умения применять полученные знания на практике.
Указания к выполнению контрольных работ
При выполнении контрольных работ необходимо руководствоваться следующими требованиями:
1. Вариант контрольной работы выбирать по последней цифре номера зачетной книжки.
2. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради.
3. На обложке тетради должны быть ясно написаны название дисциплины, номер контрольной работы, фамилия студента, его инициалы, номер группы и шифр специализации, шифр зачетной книжки.
4. В начале работы должен быть указан номер варианта задания.
5. Перед решением задачи должно быть полностью приведено ее условие.
6. Решение задач следует сопровождать необходимыми формулами, развернутыми расчетами и краткими пояснениями.
7. В конце работы должна стоять подпись студента с указанием даты ее выполнения.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
11-20. В пирамиде SABC: треугольник АВС – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:
1) длину ребра АВ;
2) угол между ребрами АВ и AS;
3) угол наклона ребра AS к основанию пирамиды;
4) площадь основания пирамиды;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой АВ;
7) уравнение плоскости АВС;
8) проекцию вершины S на плоскость АВС;
9) длину высоты пирамиды.
11. А(-2;0;0); В(0;3;0); C(0;0;1); S(0;2;3).
12. А(4;0;0); В(0;-8;0); C(0;0;2); S(4;6;3).
13. А(-2;0;0); В(0;6;0); C(0;0;2); S(-1;6;4).
14. А(1;0;0); В(0;2;0); C(0;0;2); S(1;1;4).
15. А(-3;0;0); В(0;-2;0); C(0;0;1); S(-2;-1;3).
16. А(6;0;0); В(0;-3;0); C(0;0;2); S(4;-3;4).
17. А(3;0;0); В(0;-6;0); C(0;0;1); S(1;-3;3).
18. А(-4;0;0); В(0;4;0); C(0;0;2); S(-2;4;3).
19. А(-6;0;0); В(0;2;0); C(0;0;3); S(-3;2;5).
20. А(-1;0;0); В(0;5;0); C(0;0;2); S(-1;3;4).
51-60. Дана система линейных уравнений:
Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления; 3) по правилу Крамера.
51. 52.
53. 54.
55. 56.
57. 58.
59. 60.
71-80. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей А.
71. 72.
73. 74.
75. 76.
77. 78.
79. 80.
91-100. Дано комплексное число a. Требуется: 1) записать число a в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения z3+a=0.
91. . 92. . 93. .
94. .95. . 96. .
97. . 98. . 99. . 100. .
111-120. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
111. а) ; б) ;
в) ; г) .
112. а) ; б) ;
в) ; г) .
113. а) ; б) ;
в) ; г) .
114. а) ; б) ;
в) ; г) .
115. а) ; б) ;
в) ; г) .
116. а) ; б) ;
в) ; г) .
117. а) ; б) ;
в) ; г) .
118. а) ; б) ;
в) ; г) .
119. а) ; б) ;
в) ; г) .
120. а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Производная и её приложение
141-150. Найти производные данных функций.
141. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
142. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
143. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
144. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
145. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
146. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
147. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
148. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
149. а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
150. а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
151-160. Найти и .
151. а) ; б) .
152. а) ; б) .
153. а) ; б) .
154. а) ; б) .
155. а) ; б) .
156. а) ; б) .
157. а) ; б) .
158. а) ; б) .
159. а) ; б) .
160. а) ; б) .
Дифференциальные уравнения
321-330. Найти общее решение дифференциального уравнения.
321. . 322. .
323. . 324. . 325. .
326. . 327. .
328. . 329. .
330. .
341-350. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , .
341. ; , .
342. ; , .
343. ; , .
344. ; , .
345. ; , .
346. ; , .
347. ; , .
348. ; , .
349. ; , .
350. ; , .
Ряды
421-430. Исследовать сходимость числового ряда.
421. . 422. . 423. . 424. . 425. . 426. .
427. . 428. . 429. . 430. .
431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.
431. . 432. . 433. .
434. . 435. . 436. .
437. . 438. . 439. .
440. .
441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.
441. . 442. . 443. .
444. . 445. . 446. .
447. . 448. . 449. . 450. .
451 – 460.Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
451. 452.
453. 454.
455. 456.
457. 458.
459. 460.
461 – 470.Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .
461. в интервале
462. в интервале
463. в интервале
464. в интервале
465. в интервале
466. в интервале
467. в интервале
468. в интервале
469. в интервале
470. в интервале
Задание 11 – 20
Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Ч.1. М.: Оникс 21 век. 2005. Гл. I –IV, стр.39 – 91.
Рассмотрим решение аналогичной задачи, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).
1) Длину ребра АВ находим по формуле:
2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами , координаты которых определяются так:
α
φ
Для решения задания 3) целесообразно решить задачу 7). Уравнение плоскости составим по уравнению
Нормальный вектор этой плоскости
4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:
5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторов Изучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.
6) Уравнение прямой
Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой
8) Для определения проекции вершины на плоскость выполняются следующие действия:
а) составляется уравнение высоты пирамиды .
б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.
Решение: вектор удобнее взять
Он будет направляющим для По уравнению
вершина , т.е.
.
Система решается подстановкой
Подставив во второе уравнение, найдём значение , а следовательно значения
Точка - проекция точки на плоскость
9) Длину высоты пирамиды можно найти по формуле или по формуле расстояния от точки до плоскости – наиболее удобно.
Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).
Задание 51 – 60
Дана система линейных уравнений
Решить систему а) матричным методом, б) методом Крамера, в) методом Гаусса.
а) данной системе соответствует матричное уравнение , которое решается по формуле: . Матрицы имеют вид:
Находим обратную матрицу
Находим матрицу
б) - формулы Крамера. Вычислим все определители
в) Метод Гаусса.
Составим расширенную матрицу и преобразуем её с помощью элементарных преобразований.
Из полученной матрицы, выделяя последнюю строку, видим, что исключены неизвестные и . Найдём . .
Вторая строка соответствует уравнению:
или
Аналогично из первой строки напишем уравнение:
Итак:
Задание 91 – 100.
Дано комплексное число
Записать число в геометрической и тригонометрической формах и найти все корни уравнения
Рекомендуемая литература: Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, ч. II, гл.III, §7, стр.97 – 101.
Найдём алгебраическую форму комплексного числа
Тригонометрическая форма комплексного числа определится по формуле .
Изобразив число на плоскости, найдём и .
-1
Итак, число
Найдём корни уравнения
вычислим по формуле Муавра
Задание 111 – 120
Вычислить пределы:
а)
За скобку выносили наивысшую степень для числителя и знаменателя.
б)
Для исключения неопределённости требуется числитель и знаменатель разложить на множители.
в)
В данном случае для исключения неопределённости использованы эквивалентные бесконечно малые, например
г) Числитель и знаменатель умножаем на выражение, сопряжённое числителю
Задание 141– 150
Найти производные следующих функций:
а) б) ;
в) г) ;
д) .
б)
в)
г)
Прологарифмируем обе части равенства
Продифференцируем обе части равенства
д)
Функция задана неявно. Учитываем, что аргумент, функция.
Задание 151 – 160
Найти функций:
Решение:
а)
б)
Задание 191 – 200
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить её график.
Рассмотрим свойства функции:
1. Область определения:
2. Чётностьь, нечётность функции:
Функция общего вида.
3. Асимптоты.
а) Так как , то прямая является вертикальной асимптотой:
б) – наклонная асимптота.
Найдём
Найдём
– уравнение наклонной асимптоты.
4. Найдём точки экстремума и интервалы монотонности функции:
Так как то действительных корней нет, значит, нет точек экстремума.
Производная на всей области определения, значит функция
убывает.
5. Точки пересечения с координатными осями
а) с осью при ,
б) с осью при .
Используя исследование функции, строим график (схематично).
Задания 141-150, 151-160, 191-200 легко выполнить, используя учебное пособие П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах ч.I гл. VII §§ 1-2 стр. 151-183.
Задание 231-240
Показать, что функция удовлетворяет равенству:
Находим частные производные по и по :
Подставим в равенство частные производные.
;
Равенство верно.
Задание 251-260
Найти наименьшее и наибольшее значения функции
в области
y
В С
D
А D
0 1 2 x
а) Найдём стационарные точки
Точка - стационарная , но не принадлежит области D.
б) Исследуем данную функцию на границах квадрата АВСD
АВ:
Функция возрастает на границе АВ
ВС:
На границе ВС функция возрастает
Значит на границе фнкция возрастает
Значит на границе фнкция возрастает
Найденные значения z сравним и выделяем
Задание 261 – 270
Дана функция точка и вектор
Найти в точке и производную в точке по направлению вектора .
Найдём частные производные и вычислим их значение в точке .
– направляющие косинусы вектора
Литература к заданиям 231 – 240, 251 – 260 , 261 – 270 – П.Е. Данко , А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах
гл. VIII §§1-2, §4.
Задание 281 – 290
Найти неопределённые интегралы, выполнив проверку дифференцированием в первых двух примерах.
Решение:
Проверка:
Метод интегрирования по частям для функции
Формула:
Проверка:
Найдём коэффициенты
Задания 301– 310
Вычислить несобственный интеграл
Несобственный интеграл расходится.
Методы интегрирования рассматриваются в учебном пособии П.Е. Данко,
А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах ч. I, гл. IХ. §§1-4.
Задание 321 – 330
В данном задании предлагается решить дифференциальное уравнение одного из трёх типов – однородное, линейное или с разделяющимися переменными. Предлагается решение однородного уравнения
Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.
.
Уравнение является однородным.
Функции однородные второго порядка.
Уравнение можно привести к виду
разделить обе части на а затем на .