Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных.

Частное производной 2го порядка от ф-ции Z явл. частная производная от 1й производной:

Z``XX=(Z`x)`x ; Z``yy=(Z`y)`y

Z``Xy=(Z`x)`y=(Z`y)`x

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Экстремумы ф-ции несколькихпеременных. Необходимые и достаточные

Признаки экстремума ф-ции 2х переменных.

Z=f(x,y), M0(x0,y0), M(x,y)

Max ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наибольшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0

Min ф-ции Z называется такое ее значение f(x0,y0), которое является наименьшим среди всех значений, принимаемых в некоторой окрестности точки M0

Экстремум сущ. в тех точках, в которых частная производная ф-ции Z=0 или не существует:

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Если Z=f(x1,x2,...xn), то ¶Z/¶xi=0, i=1,2,...n - необходимое условие.

Достаточный признак:

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

где A= Z``XX(x0,y0), C= Z``yy(x0,y0), B= Z``yx (x0,y0),

1) если D>0, то М0 - точка экстремума;

если А<0 или С<0, то М0 - точка max;

если А>0 или С>0, то М0 - точка min.

2) если D<0, то экстремума нет

3) если D=0, то вопрос о существовании экстремума остается открытым.

Общая схема исследования ф-ции необходима для построения графика.

Найти:
-обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интервалы, где ф-ция явл-ся непрерывной

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет):

f(-x)=x симметрична относительно осей

f(-x)=-x симметрична относительно О(0,0)

-периодичность

-интервалы монотонности

-точки экстремума

-наибольшее и наименьшее значение

-выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в безконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.

Теоремы о среднем. Правило Лопиталя.

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ∞ / ∞, который основан на применении производных.

Правило Лопиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в этой точке: Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru .

Пусть φ ′(x) ≠ 0 в окрестности точки x0

Если существует предел

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru ,то Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [x0;x], лежащего в окрестности точки x0 , тогда

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru , где с лежит между x0 и х.

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

При x→x0 величина с также стремится к х0; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Так как Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru , то Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru .

ПоэтомуПроизводная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ∞ / ∞.

Пусть функции f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 (кроме точки x0), в этой окрестности

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Если существует предел

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru , то Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Неопределенности вида 0∙∞ ; ∞-∞ ; 1 ; ∞0 ; 00 сводятся к двум основным.

Например, 0∙∞

Пусть f(x)→0, φ(x)→∞ при х→х

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Теорема Ферма.

y=f(x) определена на [a;b] в некотор т. x=cЄ [a;b] a-ция принимает наибили наим знач, если сущ f `(x) то f `(x)=0

доказ-во: f `(c)=lim(f(c+∆x)-f(c))/∆x x=с – наиб

(x→x0)

знач ∆x f(c+∆x)-f(c) >=0

a) при ∆x<0 f `(с) lim(f(c+∆x)-f(c))/∆x<=0

(x→x0)

б) при ∆x>0 f `(с) lim(f(c+∆x)-f(c))/∆x>=0

(x→x0)

f `(c)<=0 → f `(c)=0

f `(c)>=0 →

геометрич смысл: если в некотр т. ф-ция примант наиб знач и производная сущ, то касат графика ф-ции ║оси x

Прямая на поскости

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Прямые 2-ого порядка

Эллипс

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Гипербола

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Парабола

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru Окружность

Производная 2го порядка ф-ции нескольких переменных. Дифференцирование сложной ф-ции 2х переменных. - student2.ru

Наши рекомендации