Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между

Плоскостями.)

??? Плоскость в пространстве

План лекции

1. Уравнение плоскости. Полное и неполные уравнения плоскости.

2. Частные случаи уравнения плоскости.

3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

1. Уравнение плоскости. Полное и неполные уравнения плоскости.

Всякая плоскость в пространстве, снабженном декартовой системой координат, есть множество вех точек, удовлетворяющих некоторому линейному уравнению вида:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru (1)

Обратно, множество всех точек Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ,являющихся решениями произвольного уравнения (1), есть плоскость.

(1) – общее уравнение плоскости.

Пусть точка Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru лежит в плоскости (1), тогда выполняется равенство: Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru (2)

Вычтем (2) из (1):

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Следовательно, векторы Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ортогональны. Таким образом, вектор Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru является нормалью к плоскости (1) и называется нормальным вектором плоскости.

Неполные уравнения плоскости:

А) Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - уравнение плоскости, проходящей через начало координат;

Б) Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - уравнение плоскости, параллельной оси Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ;

В) Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - уравнение плоскости, параллельной оси Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ;

Г) Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - уравнение плоскости, параллельной оси Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ;

Д) Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ;

Е) Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ;

Ж) Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

2. Частные случаи уравнения плоскости.

Всякую плоскость в пространстве можно задать, указав какую – ни будь ее точку Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и два произвольных приложенных к этой точке неколлинеарных вектора:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

Прилагая векторы Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru к точке Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , получим всевозможные закрепленные векторы вида Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , где Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - произвольные вещественные числа; концы Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru этих векторов и заполняют плоскость, проходящую через точку Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и два приложенных к ней вектора Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

В координатной форме уравнение (3) записывается так:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru (4)

(4) – параметрическое уравнение плоскости.

Уравнение (4) выражают линейную зависимость столбцов матрицы

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Что эквивалентно равенству:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru (5)

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ; Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ; Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

Решение. Искомая плоскость содержит точку Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и неколлинеарные векторы:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , следовательно, ее уравнение можно записать в виде (5):

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Если все коэффициенты уравнения (1) отличны от нуля, тогда его можно записать в виде:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Или

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru (6)

Где Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ; Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ; Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

(6) – уравнение плоскости в отрезках, т.к. числа Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - алгебраические значения отрезков, отсеченных плоскостью (1) на осях координат.

3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана плоскость Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru . Проведем через начало координат прямую Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , будем называть эту прямую нормалью; точка Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - пересечение плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и нормали Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru . Обозначим через Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru углы, которые составляет вектор Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru с осями координат; Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru . Выведем уравнение плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , считая известными Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru . Для этого возьмем на плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru произвольную точку Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , тогда Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , отсяда Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Или

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru (7)

(7) – нормальное уравнение плоскости.

Теорема. Расстояние Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru от точки Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru до плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru вычисляется по формуле:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Доказательство. Спроектируем точку Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru на нормаль Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ; Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru - ее проекция, тогда Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru или Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , но Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru ; Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , следовательно,

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Теорема доказана.

Если плотность Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru задана общим уравнением (1), то расстояние от точки Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru до этой плоскости находится по формуле:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.

Пусть в пространстве даны две плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru :

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Соответствующие им векторы нормали имеют вид

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Плоскости в пространстве могут быть параллельны, совпадать, перпендикулярны и, наконец, пересекаться под произвольным углом.

Рассмотрим эти случаи.

А) Плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru параллельны, следовательно, Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , т.е. Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

Б) Плоскости Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru совпадают, следовательно, уравнения, их описывающие, эквивалентны, т.е. Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

В) Плоскости пересекаются под прямым углом, тогда и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , т.е. Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

Г) Плоскости пересекаются под произвольным углом; найдем этот угол. За угол между плоскостями принимается угол Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru между любыми двумя перпендикулярными к ним векторами, следовательно, это будет угол между нормалями Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , а его можно вычислить по формуле:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями:

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru или Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru . Поэтому Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru . Т.к. Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru и Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru , то

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru .

Пример. Определить угол между плоскостями x+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Плоскость в пространстве. (Различные виды уравнений плоскости, угол между - student2.ru

Наши рекомендации