Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми.

Уравнение с угловым коэффициентом.

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru и пройдет параллельно оси оу.

Общее уравнение прямой.

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

· Если В=0, то уравнение имеет вид Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru или Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

· Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru .

· Если А=0, то уравнение имеет вид Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.

т М (х00).

Уравнение прямой записывается в виде Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru .

Подставим в это уравнение точку М Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Решим систему:

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

К (х11) М (х22)

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Уравнение прямой в отрезках.

К (а;0); М (0;b)

Подставим точки в уравнение прямой:

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

М000). Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Возьмем произвольную точку М (х;у).

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Т.к. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru , то Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Т.к. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru ; Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru , то:

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Угол между прямыми.

Дано: прямые L1 и L2 с угловыми коэффициентами

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Требуется найти угол между прямыми:

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru Эллипсомназывается

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF1 + MF2 = 2a

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Т.к. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

То получаем Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Или Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF1 – MF2|=2a или MF1 – MF2=±2a,

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru Пусть M(x;y) – произвольная

точка M с F. Проведем отрезок

MN перпендикулярно

директрисе. Согласно

определению MF=MN.

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Поверхности вращения.

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности точку

M (x;y;z). Проведем через точку

М плоскость, перпендикулярную

оси oz, и обозначим точки

пересечения ее с осью oz

и кривой L соответственно O1 и N.

Обозначим координаты точки

N (0;y1;z1). Отрезки O1M и O1N

являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O1M = O1N. Но O1M = (x2+y2)0.5, O1N=|y1|.

Следовательно, |y1|=(x2+y2)0.5 или y1=±(x2+y2)0.5. Кроме того, очевидно, z1=z.

Следовательно Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми. - student2.ru – искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Наши рекомендации