Применение формул двойного и половинного аргумента

Пример 43. Решите уравнение .

Решение

Используем формулу , получим уравнение:

.

Положим , получим ,

.

Ответ: .

Пример 44. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, применив формулу: .

Получим уравнение: .

Пусть , тогда:

,

.

Ответ: .

Пример 45. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение:

Из области допустимых значений следует, что при n = 4m - 1 получим: , значит, второе множество не входит в область допустимых значений.

Проверим первое множество значений:

При получим:

. Совершенно очевидно, что найдутся целые значения n, при которых k будет равняться полученной дроби. Эти значения должны быть исключены из множество решений.

Ответ: , .

2-й способ

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение:

.

.

Пусть , получим уравнение ,

оба значения удовлетворяют условию

Получим совокупность уравнений:

.

Оба множества значений x входят в область допустимых значений.

Проверим, входят ли в область допустимых значений .

. При - это неравенство не выполняется, т. е. n = 2k + 1, значит не входят в область допустимых значений и не являются корнями уравнения.

Ответ: .

Пример 46. Решите уравнение

Решение

Для решения уравнения применим формулу: , в которой положим , тогда, , получим уравнение:

.

Положим , получим:

,

.

Ответ: .

Пример 47. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, применив формулу: , тогда получим уравнение:

.

Положим , получим:

,

,

.

Ответ: .

Пример 48. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулы: . Тогда уравнение примет вид:

Положим получим: .

Отсюда находим: .

Ответ: .

Пример 49. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, применяя тождество , получим уравнение: .

Пусть , получим:

,

.

Ответ: .

Пример 50. Решите уравнение .

Решение

Имеем уравнение, содержащее одинаковые функции с разными аргументами.

Преобразуем функцию к той же функции, но содержащей аргумент 2x.

Для этого применим формулу: . Подставляя в уравнение, получим: .

Положим , тогда получим систему:

.

Получим совокупность уравнений:

Ответ:

Пример 51. Решите уравнение .

Решение

Применим формулу , получим уравнение: .

Положим , получим смешанную систему:

,

Ответ: .

Применение формул приведения

Пример 52. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулы приведения:

.

Положим , получим систему:

.

или

и /

Ответ: или и .

Пример 53. Решите уравнение .

Решение

Найдем область допустимых значений переменной:

.

Таким образом, область допустимых значений определяется неравенством:

.

Преобразуем уравнение:

,

.

Поскольку из области допустимых значений следует, что , то получаем уравнение:

Положим , приходим к системе:

.

.