Некоторые линейные модели в экономике и их решение с помощью MathCAD
1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ).Макроэкономика функционирования многоотраслевого производства требует баланса между отраслями. С одной стороны, каждая отрасль выступает как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из п отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли?
Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В.Леонтьевым.
Предположим, что производственная сфера хозяйства представляет собой п отраслей, каждая из которых производит свою однородную продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.
Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).
Введём следующие обозначения:
хi – общий (валовый) объём продукции i-й отрасли (i=1,2,…,п);
zij – объём продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства объёма продукции хj (i, j=1,2,…,п);
уi – объём конечного продукта i-й отрасли для потребления в непроизводственной сфере (так называемый продукт конечного потребления). Это личное потребление граждан, содержание государственных институтов и т. д.
Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой п отраслями, и конечного продукта, то
хi= +уi, (i=1,2,…,п). (1)
Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Т.к. продукция разных отраслей имеет разные измерения, будем в дальнейшем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение.
Введем коэффициенты прямых затрат
аij= , (i, j=1,2,…,п), (2)
показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.
Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты аij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.
zij=аijхj, (i, j=1,2,…,п), (3)
вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной.Теперь соотношения баланса (1) примут вид:
хi= +уi, (i=1,2,…,п). (4)
Обозначим x= , А= , y= ,
где x – вектор валового выпуска, y – вектор конечного продукта, А – матрица прямых затрат (технологическаяилиструктурная матрица).
Тогда систему (1) можно записать в матричном виде:
x=Аx+y. (5)
Уравнение межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска Х, требуется рассчитать вектор конечного продукта Y.
Во втором случае уравнение межотраслевого баланса используется для целей планирования: для периода времени Т (например, год) известен вектор y конечного продукта (потребления) и требуется определить вектор x валового выпуска. Тогда необходимо решать систему линейных уравнений с известной матрицей А и заданным вектором y. Эта задача является основной задачей межотраслевого баланса.
Перепишем уравнение (4) в виде:
(Е-А)x=y. (6)
Если матрица (Е-А) невырожденная, т.е. |Е-А|¹0, то по формуле (4) §4.2
x=(Е-А)-1y.(7)
Матрица S=(Е-А)-1 называется матрицей полных затрат. Чтобы выяснить экономический смысл элементов матрицы S=(sij), будем задаваться единичными векторами конечного продукта y(1)=(1,0,...,0)Т,y(2)=(0,1,...,0)Т, …, y(п)=(0,0,...,1)Т. Тогда по (7) соответствующие векторы валового выпуска будут
x(1)=(s11, s21,..., sп1)Т, x(2)=(s12, s22,..., sп2)Т, …, x(п)=(s1п, s2п,..., sпп)Т.
Следовательно, каждый элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i-й отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j-й отрасли уj=1 (j=1,2,..., п).
В соответствии с экономическим смыслом задачизначения хi должны быть неотрицательны при неотрицательных значениях уj и aij, где i,j=1,2,...,п.
Определение. Матрица А с неотрицательными элементами называется продуктивной, если длялюбого вектора y с неотрицательными элементами существует решение x уравнения (5)с неотрицательными элементами. В этомслучае и модель Леонтьева называется продуктивной.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Один из них говорит о том, что матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы, т.е. матрица А продуктивна, если aij³0для любых i,j=1,2,..., п и £l, и существует номер j такой, что <1.
2. Линейная модель торговли.Одним из примеров экономического процесса, приводящего к понятию собственного числа и собственного вектора матрицы, является процесс взаимных закупок товаров. Будем полагать, что бюджеты п стран, которые мы обозначим соответственно х1, х2, …, хn, расходуются на покупку товаров. Мы будем рассматривать линейную модель обмена, или, как ее еще называют, модель международной торговли.
Пусть aij – доля бюджета хj, которую j-я страна тратит на закупку товаров у i-й страны. Введем матрицу коэффициентов аij:
А= (1)
Тогда если весь бюджет расходуется только на закупки внутри страны и вне ее (можно это трактовать как торговый бюджет), то справедливо равенство
=1 (2)
Матрица (1) со свойством (2), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется структурной матрицей торговли. Для i-й страны общая выручка от внутренней и внешней торговли выражается формулой Pi=аi1x1+аi2x2+…+аinxn. Условие сбалансированной (бездефицитной) торговли формулируется естественным образом: для каждой страны ее бюджет должен быть не больше выручки от торговли, т.е. Pi³xi, или
аi1x1+аi2x2+…+аinxn³xi, i=1,2,..., п. (3)
Докажем, что в условиях (3) не может быть знака неравенства. Действительно, сложим все эти неравенства при i от 1 до п. Группируя слагаемые с величинами бюджетов xj, получаем
x1(a11+a21+…+an1)+х2(а12+а22+…+an2)+...+xn(a1n+а2n+…+апп)³x1+x2+...+xп.
Нетрудно видеть, что в скобках стоят суммы элементов матрицы А по ее столбцам от первого до последнего, которые равны единице по условию (2). Стало быть, мы получили неравенство x1+x2+...+xп³x1+x2+...+xп, откуда возможен только знак равенства.
Таким образом, условия (3) принимают вид равенств:
(4)
Введем вектор бюджетов x, каждая компонента которого характеризует бюджет соответствующей страны; тогда систему уравнений (4) можно записать в матричной форме
Аx=x. (5)
Это уравнение означает, что собственный вектор структурной матрицы А, отвечающий ее собственному значению l=1, состоит из бюджетов стран бездефицитной международной торговли.
Перепишем уравнение (5) в виде, позволяющем определить x:
(А-Е)x=0. (6)
3. Решение примеров линейной алгебры с помощью MathCAD.Векторные и матричные операторы и функции системы MathCAD позволяют решать широкий круг задач линейной алгебры. К примеру, если заданы матрица А и вектор В для системы линейных уравнений в матричной форме Х=В, то вектор решения можно получить из выражения Х=А-1×В или с помощью встроенной функции isolve(А,B), а также с помощью символьной операции solve.
Пример 1. В таблице приведены данные об исполнении межотраслевого баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:
№№ | Отрасль | Потребление | Валовой выпуск | ||||
Станкостроение Энергетика Промышленное и с/х машиностроение Автомобильная промышленность Газодобывающая промышленность |
Вычислим:
1) Конечный продукт при данном валовом выпуске.
2) Необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление по отраслям составляет соответственно 120, 350, 70, 175 и 550 усл. ден. ед.
n Решение приведено на рис.1. Оно сопровождается комментариями, набранными с помощью команд Вставка–Текстовая область.
1. Определение вектора конечного продукта для непроизводственного потребления при заданном векторе валового продукта | ||
Вектор валового продукта Х, его размерность n и объём продукции Z i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью | ||
Определение матрицы прямых затрат | ||
Проверка продуктивности матрицы прямых затрат | ||
Конечный продукта при данном объёме валового выпуска. | ||
Таким образом, конечный продукт при данном валовом выпуске и матрице прямых затрат должен быть следующим (в усл. ден. ед.): станкостроение 380, энергетика 450, промышленное и с/х машиностроение 270, автомобильная промышленность 80, газодобывающая промышленность 600. | ||
2. Определение необходимого объёма валового выпуска каждой отрасли при заданном конечном потреблении | ||
Заданный вектор конечного продукта для непроизводственного потребления | ||
Матричное решение системы линейных уравнений для определения необходимого вектора валового продукта Х1 | ||
Решение системы с применением функции isolve для определения необходимого ветора валового продукта Х1 | ||
Таким образом, чтобы обеспечить заданный вектор конечного продукта, необходимый валовый продукт должен быть следующим (в усл. ден. ед.): станкостроение 1094, энергетика 1092, промышленное и с/х машиностроение 557, автомобильная промышленность 567, газодобывающая промышленность 1143. l | ||
Рис.1 | ||
Пример 2. Структурная матрица торговли четырех стран имеет вид:
А= .
Найдём бюджеты этих стран для сбалансированной бездефицитной торговли.
n Решение приведено на рис. 2. При этом для решения однородной системы (6) использована символьная операция solve.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ ТОРГОВЛИ | |
Заданная структурная матрица торговли | |
solve,x,y,z,u (1.222z; 1.259z; z; 0.897z) | Решение однородной системы (А-Е)Х=0, заданной в векторной форме, с помощью символьной операции solve |
Здесь z может принимать любые действительные значения. Таким образом, сбалансированность торговли четырёх стран достигается при векторе национальных доходов Х=(1,22z; 1,26z; z; 0,90z), т.е. при соотношении национальных доходов примерно как 11:11,3:9:8. | |
Рис.2 l |