Решение алгебраических уравнений в MathCAD.

Ответ: Для алгебраических уравнений вида f(x)=0 решение в MathCad находится с помощью функции root. Общий вид функции следующий: root( f(х), х), где f(х) – функция, описывающая левую часть выражения вида f(x)=0, х – имя переменной, относительно которой решается уравнение. Функция rootреализует алгоритм поиска корня численным методом и требует предварительного задания начального приближения искомой переменной х. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует предварительной информации о примерной локализации корня. Функция позволяет найти как вещественные корни, так и комплексные. В случае комплексного корня начальное приближение нужно задать в виде комплексного числа. Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение «отсутствует сходимость». Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами: 1)уравнение не имеет корней; 2)корни уравнения расположены далеко от начального приближения; 3)выражение f(x) имеет разрывы между начальным приближением и корнем; 4)выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным и наоборот. Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Например, просле задания в документе оператора TOL:=0.00001 точность вычисления корня станет равной 0.00001. Для нахождения корней полиномиального уравнения вида:

используется функция polyroots. В отличие от функции root, polyrootsне требует начального приближения и вычисляет сразу все корни, как вещественные, так и комплексные. Общий вид: polyroots(v),где v – вектор коэффициентов полинома длины n+1, n – степень полинома. Вектор v формируется следующим образом: в первый его элемент заносится значение коэффициента полинома при х⁰, т.е. v₀, во второй элемент - значение коэффициента полинома при х¹, т.е. v₁ и т.д. Таким образом, вектор заполняется коэффициентами перед степенями полинома справа налево. Функция вычисляет вектор длины n, состоящий из корней полинома. На рисунке 2.6.1 приведены примеры вычисления корней уравнений с помощью функций root и polyroots.

Рисунок 2.6.1 – Примеры решения уравнений

MathCAD дает возможность решать системы уравнений и неравенств. Наиболее распространенным методом решения уравнений в Mathcad является блочный метод. Для решения системы этим методом необходимо выполнить следующее: a) задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений; б) задать ключевое слово Given, которое указывает, что далее следует система уравнений; в) ввести уравнения и неравенства в любом порядке (использовать кнопку логического равенства на панели знаков логических операций для набора знака «=» в уравнении); г) ввести любое выражение, которое включает функцию Find. Решающим блоком называется часть документа, расположенная между ключевыми словами Given и Find.После набора решающего блока Mathcad возвращает точное решение уравнения или системы уравнений. Обратиться к функции Find можно несколькими способами: Find(x1, x2,…) = - корень или корни уравнения вычисляются и выводятся в окно документа. x := Find(x1, x2,…) – формируется переменная или вектор, содержащий вычисленные значения корней. Сообщение об ошибке «Решение не найдено» появляется тогда, когда система не имеет решения или для уравнения, которое не имеет вещественных корней, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот. Приближенное решение уравнения или системы можно получить с помощью функции Minerr.Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerrтакие же, как и для функции Find. Часть документа, расположенная между ключевыми словами Given и Minerr так же носит название решающего блока.Примеры решения систем уравнений с помощью решающего блока приведены на рисунке 2.6.2. Для решения систем линейных уравнений можно использовать общепринятые математические методы: метод Крамера, матричный метод и т.д. Матричный метод решения системы линейных уравнений реализован в функции lsolve. Общий вид функции:lsolve(а, b)

где а – матрица коэффициентов перед неизвестными, b – вектор свободных членов. Матричный метод можно реализовать и с помощью обратной матрицы. Примеры решения систем линейных уравнений с помощью матричного метода приведены на рисунке 2.6.2.

Рисунок 2.6.2 – Примеры решения систем уравнений

Из рисунка 6.2 видно, что при решении системы уравнений блочным методом можно получить численные значения корней системы уравнений, без присваивания и с присваиванием их в переменные x1 и x2. При решении системы уравнений матричным методом продемонстрированы два варианта: с использованием стандартной функции lsolve и обратной матрицы.