Вынужденные колебания без сопротивления при произвольном воздействии. Интеграл Дюамеля.

Дифференциальное уравнение имеет вид

(4)

Частное решение можем найти методом вариации произвольных постоянных: решение ищется виде решения однородного уравнения, в котором коэффициенты являются неизвестными функциями времени

. (4a)

Дифференцируя это выражение, получим

Подчеркнутые слагаемые приравниваются нулю; это можно сделать, поскольку искомое частное решение представлено через две функции .

Дифференцируя еще раз и подставляя результат в уравнение (4), получим систему

,

откуда находим

и можем записать в виде

.

Подставляя в (4а) и внося в подинтегральное выражение, получим

(5)

Интеграл (5) называется интегралом Дюамеля; его смысл выходит за рамки рассмотренной задачи.

В интеграле (5) - координата тела в актуальный момент времени при действии в момент единичного импульса, то есть импульса, сообщающего системе единичную скорость. Действительно, решение уравнения при начальных условиях имеет вид

. Поэтому (5) представляет собой суперпозицию движений линейной системы под действием элементарных импульсов силы .

В любой линейной задаче движение при произвольном воздействии и нулевых начальных условиях может быть найдено в виде

, (6)

где - реакция системы на единичный импульс.

x

x

7.1.4. Свободные колебания с учетом сопротивления.

Дифференциальное уравнение имеет вид

(7)

По методу Эйлера решение будем искать в виде Подставляя его в (7), получим характеристическое уравнение

,

откуда определяются собственные числа .

Общее решение имеет вид

, (7а)

где и определяются из начальных условий. Рассмотрим три возможных случая.

А) Большое сопротивление

В этом случае собственные числа и вещественные и решение имеет вид (7а), которое для удобства часто записывают в виде:

, (7b)

где гиперболические функции, удобные для определения постоянных из начальных условий, поскольку

Имеем и

, (7c)

Эскизы графиков движения в зависимости от начальных условий могут иметь вид, представленный на рис. 3.

Эти движения принято называть апериодическими (непериодическими) колебаниями, хотя они и не имеют колебательного характера.

T

Рис 4.

Рис 3.

x

t

B) Предельно-апериодическое движение

В этом случае собственные числа кратные и, как известно из математики, частные решения имеют вид и , так что общее решение

.

Впрочем, это решение, как и в случае резонанса (см.7.1.2), получается предельным переходом при из общего решения (7c) . Замечая, что , получим:

Характер движения вполне описывается эскизами на рис. 3.

C) Малое сопротивление (затухающие периодические колебания)

Собственные числа –комплексные и формально записанное решение тоже комплексное. С помощью формулы Эйлера оно принимает вид

.

Разумеется, если найти постоянные из вещественных начальных условий, мнимая часть решения «исчезнет» (станет равной нулю). Имеем

Таким образом,

. (7d)

Обычно это вещественное решение сразу записывают в виде суммы вещественной и мнимой частей, умноженных на константы, определяемые из начальных условий:

.

Действительно, если комплексная функция является решением линейного уравнения с вещественными коэффициентами, то решениями являются ее вещественная и мнимая части.

Решение может быть записано в виде одной гармоники

.

Это движение, несмотря на неточность, называют затухающими периодическими колебаниями (рис. 4). Частота колебаний , «период» .