Вынужденные колебания с учетом вязкого сопротивления.

Дифференциальное уравнение имеет вид (1)

.

А. Произвольное воздействие (интеграл Дюамеля).

Возьмем для определенности случай малого сопротивление ( ). Полагая в решении (7d) предыдущего параграфа , получим движение с единичной начальной скоростью (реакцию системы на единичный импульс)

.

Движение при воздействии описывается интегралом Дюамеля

.

В. Гармоническое воздействие.

Дифференциальное уравнение имеет вид

. (8)

Частное решение, описывающее установившиеся колебания с частотой возмущающей силы, будем искать в виде или, что одно и то же, в виде , где амплитуда колебаний, фаза.

Подставляя это выражение в (8) и преобразовывая правую часть

, получим

.

Приравнивая коэффициенты при , получим систему

(9)

Рис.5. Амплитудно- и фазо - частотные зависимости.

p

p

A

Зависимость амплитуды и фазы колебаний от частоты представлены на рис 5.

Максимальная амплитуда достигается при частоте , при которой подкоренное выражение в знаменателе формулы амплитуды (9) минимально.

Пример. Малые колебания кривошипно-шатунного механизма.

A

yB

KC

C

D

B

a

da

b

E

В качестве обобщенной координаты выбран угол . Уравнение Лагранжа

.

Кинетическая энергия, как и для любой системы с одной степенью свободы, имеет вид , где инерционный коэффициент зависит в общем случае от координаты. Для получения уравнений малых колебаний, то есть линейных уравнений, необходимо в разложении оставить только первый член , что равносильно вычислению кинетической энергии в момент, когда система проходит положение равновесия (на рисунке отмечено пунктирными линиями).

Кинетическая энергия кривошипа , шатуна , диска . Проецируя основную формулу кинематики твердого тела на оси , найдем угловую скорость шатуна и скорость : , и затем

.

Таким образом,

.

Потенциальная энергия

,

где - статические деформации пружин в положении равновесия. Связь между выражается формулами

(1)

Для получения уравнений малых колебаний в выражении потенциальной энергии необходимо сохранить члены порядка или, что проще, найти значение Из (1) имеем:

и, дифференцируя потенциальную энергию, получим

(2)

(3)

Формула (2), выражающая равенство нулю обобщенной силы в положении равновесия, связывает статические деформации . Слагаемые в фигурной скобке в (3) соответствуют « кинематическому» подходу при вычислении перемещений для потенциальной энергии, при котором связь между перемещениями получают «интегрированием» связей между скоростями в момент прохождения системой положения равновесия, т.е. просто убирают знаки производных по времени. В данном примере это означает, что из выражения следовало бы , что при подстановке в потенциальную энергию привело бы к ошибке в (3). Из (3) и (4) следует, что в этой задаче « кинематический» подход является верным только в следующих случаях:

а) , б) статическая деформация спиральной пружины , в) .

Уравнение малых колебаний имеет вид , где величину называют обобщенной жесткостью.