Равнодействующая, центр параллельных сил, центр тяжести.

Воздействия (силы и моменты) характеризуются главным вектором сил и главным моментом относительно произвольной опорной точки. Запишем формулу, связывающую моменты относительно двух точек – опорной точки и так называемой точки приведения

. (1)

A

⦁ P

Если есть такая точка приведения , относительно которой главный момент равен нулю, то говорят, что система приводится к равнодействующей, приложенной в точке приведения. Из формулы(1) следует,что приведение к равнодействующей возможно, только если главный момент и главный век тор перпендикулярны. При этом множество точек приведения к равнодействующей находятся на прямой

(2)

.

Рассмотрим систему параллельных сил где проекция на направление, задаваемое вектором . Главный вектор и главный момент перпендикулярны, поэтому система приводится к равнодействующей. Покажем, что в этом случае на прямой (2) существует такая точка приведения , называемая центром параллельных сил, положение которой не изменяется при повороте всех сил на произвольный угол (точки приложения сил не изменяются).

Подставляя выражения и в (2) и раскрывая двойное векторное произведение, получим

.

Чтобы это выражение не зависело от направления сил (вектора ), надо положить

и тогда положение центра параллельных сил задается формулой .(3)

Частный случай параллельных сил – силы тяжести, действующие на точки тела. Если тело небольшого размера, то можно пренебречь различием в направлении сил (к центру Земли) и различиями в величине сил ввиду разного расстояния до центра Земли. Тогда центр тяжести совпадает с центром масс

.

Оценим различие в положениях центра масс и центра тяжести «высокого» тела.

Пример. Центр тяжести небоскреба.

dz

R

z

Обозначим линейная плотность массы. Сила тяжести, действующая на элемент массы равна где ускорение на поверхности Земли. Суммарная сила тяжести

. Координата центра тяжести

.

Заменяя , получим . Для высоты получим, что центр тяжести ниже центра масс всего лишь на

Глава 3. Кинематика точки

A

•

Положение точки в системе отсчета задается вектором положения как функцией времени, проведенным в точку из некоторого неподвижного в системе отсчета центра A:

Траекторией называется кривая, по которой движется точка, скоростью – производная по времени вектора положения R , ускорением - производная от вектора скорости

. (3.1)

Из определения производной вектора следует, что вектор скорости направлен по касательной к траектории. Собственно говоря, формулами (3.1) вся кинематика точки и исчерпывается; все технические трудности связаны лишь с выбором системы координат.

Упражнение 1. Исходя из определения производной вектор-функции от скалярного аргумента показать, что

1) (производная скалярного произведения)

2) (производная векторного произведения

3) Если , то ^ (продифференцировать квадрат модуля, равный ).