Постановка и моделирование задач принятия управленческих решений (основные принципы, понятия, терминология).

Применение математического моделирования для решения задач организационного управления получило свое развитие в рамках таких комплексных дисциплин как «Исследование операций» (Operation research) и «Системный анализ»(Systems analysis). Мы уже отмечали ранее общность основных методологических принципов этих дисциплин, главными из которых являются системный подход и математическое моделирование. Теперь отметим те различия, которые, по нашему мнению, делают неправомочным утверждение, что речь идет об одной и той же дисциплине, получившей в ходе своего развития и становления два различных «имени».

Не углубляясь в детали и строгость определений, отметим лишь основные различия.

Первое. Исследование операций исходит из того, что цель и показатель оценки качества (критерий) способа достижения цели заданы. Задача исследования – найти лучший (в смысле заданного критерия) способ достижения заданной цели.

Системный анализ ориентирован на определение целей (целеположение) и критериев оценки способов их достижений и уже затем на поиск наилучшего способа (если выбрана неправильная цель, то есть опасность найти решение не той проблемы; получение точного ответа на неправильный вопрос менее полезно, чем не до конца точный ответ на правильный вопрос).

Таким образом, системный анализ в большей степени ориентирован на решение задач стратегического характера (стратегического планирования), а исследование операций – тактического (текущего планирования).

Второе. Исследование операций преимущественно ориентированно на принятие решений в условиях определенности исходных данных или в условиях «доброкачественной» неопределенности, когда некоторые факторы, влияющие на решение, представляют собой случайные величины, статистические характеристики которых нам известны или могут быть изучены.

Системный анализ содержит методологические подходы и средства решения задач в условиях «недоброкачественной» неопределенности, когда ряд факторов неопределен и их статистические характеристики неизвестны.

Третье. Методология системного анализа включает методы и средства решения проблем и для тех ситуаций, когда ряд факторов (например, цель или критерий оценки и др.) в принципе не могут быть определены в виде численных величин, в то время как исследование операций ориентированно в основном на количественные методы принятия решений.

Мы привели здесь некоторые отличительные особенности исследования операций и системного анализа с единственной целью – объяснить, как определен тот набор математических моделей и методов, который мы выделили для включения в настоящий курс. Представленные здесь модели и методы в основном ориентированны на те задачи, которые попадают в сферу исследования операций.

Поэтому методология обоснования целей и критериев здесь не рассматривается, а основной акцент сделан на методах нахождения эффективных способов достижения поставленных целей.

Существует известное изречение, что правильно поставить задачу – значит наполовину решить ее. Следует признать, что правильная постановка задачи является сама по себе сложной задачей. Однако методология процесса постановки задач (как первого этапа операционного исследования) выходит за рамки проблематики нашего курса, посвященного математическим аспектам решения задач организационного управления. Для этого очень важно суть задачи словесно описать таким образом, чтобы были возможны дальнейшая формализация и разработка математической модели, то есть описание задачи на математическом языке.

Формальная структура постановки задач базируется на определенной совокупности элементов. Соотнесение всех условий задачи этим элементам позволяет «обнажить» суть задачи и, в конечном итоге, получить ее четкую, однозначно понимаемую формулировку.

Принято выделять следующие элементы общей структуры задач принятия решений:

а) цели, ради достижения которых принимается решение;

б) множество управляемых (разрешающих) переменных, значения которых могут определяться лицом, принимающим решение (ЛПР);

в) множество внешних (экзогенных) переменных, значения которых не контролируются ЛПР и имеют вероятностный или неопределенный характер;

г) множество параметров, которые также не контролируются, но считаются в условиях данной задачи вполне определенными;

д)ограничения – предельные значения тех параметров и неконтролируемых переменных, которые не могут быть превзойдены или не достигнуты при реализации решения;

е) решение(или стратегия) – некоторая допустимая совокупность значений управляемых переменных;

ж) критерий эффективности (показатель качества) решения, на основе которого производится оценка и сравнение вариантов решений и выбор лучшего.

Предполагается, что приведенные выше элементы должны быть измеримыми, то есть иметь характер «количества» или, по меньшей мере, «величины».

Тогда дальнейший процесс разработки математической модели задачи будет сводиться к изучению взаимосвязей между целями, переменными и параметрами и отражению этих взаимосвязей в виде математических выражений (уравнений, неравенств и т.п.).

Среди этих выражений можно выделить две группы:

К первой отнесем условия достижения целей, т.е. выражения, отображающие зависимости между управляемыми переменными и поставленными целями.

Ко второй группе относятся выражения, отображающие условия-ограничения, описывающие связи между управляемыми переменными и теми из параметров и «внешних» переменных, которые или не могут быть превзойдены, или не достигнуты при реализации решения. (В отечественной литературе математические выражения, как правило, на упомянутые группы не подразделяются и обозначаются единым термином – «ограничения»).

Совокупность значений управляемых переменных, удовлетворяющих системе указанных выше выражений (условиям достижения целей и ограничениям), принято называть допустимым решением (стратегией, планом).

Множество допустимых решений называется областью допустимых решений.

Поскольку проблема принятия решения заключается не только в нахождении допустимого решения, но и в выборе наилучшего из них по принятому критерию, – возникает необходимость определения значения критерия в зависимости от значений контролируемых переменных.

Функция, определяющая эту зависимость, называется целевой функцией.

Таким образом, совокупность (система) математических выражений, отражающих условия достижения целей и условия выполнения ограничений, вместе с целевой функцией и представляют собой математическую модель задачи.

Допустимое решение, при котором значение целевой функции достигает экстремума (минимального или максимального значения в зависимости от условий задачи), называется оптимальным решением.

Приведенные понятия (элементы структуры задач принятия решений) являются наиболее общими. Далее, при рассмотрении отдельных типов задач, понятийный аппарат будет расширен. Так, например, при изучении задач массового обслуживания будут введены такие понятия, как дисциплина очереди, канал обслуживания, интенсивность обслуживания и др.; в задачах упорядочения и координации (управление проектами) – такие понятия, как критические работы, резервы времени и т.п.; в состязательных задачах (теория игр) – понятия ход, платежная матрица, чистые и смешанные стратегии и т.д…

При постановке задачи и ее моделировании необходимо прежде всего оценить, какой из формулировок принципа экономичности соответствует данная ситуация принятия решения.

Принцип экономичности может формулироваться двояко:

- заданных целей (результатов) достигнуть при минимальных затратах;

- при заданных пределах затрат достигнуть цели в максимальной степени (достичь максимума результата).

Принцип экономичности в первой формулировке иногда называют «принципом экономии средств», во второй – «принципом максимального эффекта».

Часто принцип экономичности формулируют так:

«достигнуть максимальной степени реализации цели (максимального результата) при минимальных затратах». Такое определение неверно, внутренне противоречиво с содержательной точки зрения и ведет к постановке математически неразрешимой задачи.

Кроме того, у руководителей возникает искушение оптимизировать решение задачи по нескольким критериям. Например, следующим образом: «найти такое решение, которое обеспечило бы максимум размера торгового оборота при минимуме годовых издержек производства и минимуме капитальных вложений».

При всей внешней привлекательности и кажущейся естественности – такая постановка ведет к неразрешимой задаче. Желательно, как правило, стремиться так формулировать задачи, чтобы при множественности целей и ограничений, критерий оптимизации решения (а, стало быть, и целевая функция) был один.**⁾ Это еще раз подтверждает важность правильного обоснования цели и критерия эффективности при постановке задачи, так как при этом определяется и выбор соответствующего варианта формулировки принципа экономичности.

Рассмотренные в данном курсе модели и методы оптимизации ориентированы преимущественно на решение однокритериальных задач.