Применение распределения Вейбулла

Распределение Вейбулла довольно широко используется. По своим свойствам оно занимает промежуточное положение между нормальным и экспоненциальным распределениями. В частном случае (при b=1, m=0) распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное, при этом параметр a=T_cp будет математическим ожиданием (средним значением) случайной величины T.

Из формулы (57) следует:

- при b>1 интенсивность событий монотонно возрастает;

- при b=1 интенсивность событий не изменяется во времени;

- при b<1 интенсивность событий монотонно убывает.

Скорость изменения интенсивности определяется значением b. Эта особенность распределения позволяет использовать его для описания безотказности объектов в течение трех периодов их эксплуатации:

- приработки;

- нормальной эксплуатации;

- старения.

Распределение Вейбулла получено в результате исследования распределения ресурса и срока службы объектов. Например, распределение Вейбулла имеют ресурс:

- подшипника качения (b=1,4...1,5);

- зубчатых колес редукторов (b=1,4...1,8);

- зубчатых муфт (b=1,5);

- тормозных обкладок (b=1,4);

- тормозных шкивов (b=1,5);

- ходовых колес кранов (b=2,0);

- электронных ламп (b=1,4...1,6) и т.д.

НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

Поток событий

В эксплуатации любых объектов наблюдаются следующие периоды:

- работа;

- восстановление работоспособности после отказа;

- техническое обслуживание;

- перерыв в работе или простой по организационным причинам.

Наглядное представление о надежности объекта дает временная диаграмма его эксплуатации (рис.31).

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 31. Временные диаграммы эксплуатации объекта

На диаграмме по оси времени от некоторого начального момента t=0 отложены:

Р - периоды работы;

В - восстановление работоспособности;

ТО - техническое обслуживание;

П - перерывы в работе;

° - момент времени отказов;

^x - момент времени восстановления работоспособности.

Длительность интервалов времени каждого периода является случайной величиной. Временная диаграмма хотя и просто выглядит, но содержит обширную информацию о надежности объекта:

- при коротких интервалах (Р) объект имеет низкую безотказность;

- при длинных интервалах (В) и (ТО) изделие имеет низкую ремонтопригодность и эксплуатационную технологичность;

- большая общая протяженность интервалов (Р) свидетельствует о высокой долговечности.

Для оценки безотказности и ремонтопригодности существуют:

1) модель эксплуатации объекта при мгновенном восстановлении работоспособности;

2) модель восстановления работоспособности объекта.

Модель эксплуатации объекта при мгновенном восстановлении работоспособности используется для оценки безотказности и учитывает только интервалы его работы. Временная диаграмма этой модели эксплуатации (рис. 31, б) содержит только следующие друг за другом интервалы работы и получается из временной диаграммы эксплуатации объекта в общем случае (рис. 31, а) за исключением периодов (В), (ТО) и (П). Наработка между отказами, являющаяся суммой многих периодов работы, соответствует ресурсу отказавшего элемента и является случайной величиной.

Модель восстановления работоспособности объекта используется для оценки ремонтопригодности и учитывает только интервалы восстановления его работоспособности (В). Временная диаграмма этой модели (рис. 31, г) содержит только следующие друг за другом интервалы (В) и получается из временной эксплуатации в общем случае за исключением периодов работы (Р), (ТО) и (П). Длительность каждого интервала времени восстановления работоспособности объекта является случайной величиной.

Поток событий - последовательность событий, происходящих одно за другим в некоторые моменты времени. В моделях (1) и (2) потоками событий являются поток отказов объекта и поток восстановлений работоспособности объекта.

Для системы эксплуатации типичным является случайный поток событий, в котором события следуют одно за другим в случайные моменты времени.

События, которые образуют поток, в общем случае могут быть различными (например, отказы и восстановления работоспособности в системе эксплуатации).

Мы будем рассматривать потоки однородных событий, различающихся лишь моментами появления. Такими потоками в системе эксплуатации являются:

- поток отказов (рис. 31, в);

- поток восстановления работоспособности (рис. 31, д).

Поток однородных событий наглядно изображается последовательностью точек с абсциссами t₁, t₂, t_i или , , на числовой оси 0t времени, соответствующими моментам появления событий (см. рис. 31, в, д) с интервалами между ними: T₁=t₁-0; T₂=t₂-t₁; T_i=t_i-t_i-1 или = -0; = - ; = - . Поток событий при вероятностном описании можно представить как последовательность случайных величин: t₁=T₁, t₂=T₁+T₂, t₃=T₁+T₂+T₃. На рис. 31 изображен не сам поток (он ведь случаен), а одна из его конкретных реализаций.

Свойства потоков: 1) стационарность, 2) отсутствие последействия и 3) ординарность.

1.Свойство стационарности состоит в том, что вероятность появления n событий на любом интервале времени зависит только от числа n событий и от длительности t интервала времени, но не зависит от начала его отсчета. Стационарный поток имеет постоянную интенсивность l(t).

2.Свойство отсутствия последействия состоит в том, что вероятность появления n событий на любом интервале времени не зависит от числа событий на предшествующих интервалах времени, т.е. предыстория потока не влияет на вероятность появления событий в ближайшем будущем. Практически это означает, что события, образующие поток, появляются независимо друг от друга.

3.Свойство ординарности состоит в том, что вероятность появления более одного события на элементарном интервале t времени очень мала по сравнению с вероятностью появления только одного события или появление более одного события за малый промежуток времени практически невозможно. Таким образом, свойство ординарности означает, что события в потоке появляются поодиночке, а не группами по два, по три, и т.д.

Далее рассмотрим характеристики потока событий.

Функция потока событий

Функция потока событий H(t) - математическое ожидание числа событий на интервале (0,t),

H(t)=<n(t)>. (60)

Функция потока событий следует из интерпретации ординарного потока событий как случайного процесса, который скачкообразно возрастает на одну единицу в моменты появления событий (рис. 32).

Число событий за время t:

- для N объектов n(t)= ;

- для одного объекта n(t)= .

По мере увеличения N число скачков увеличивается, а сами скачки становятся меньше.

Рис. 32. Ординарный поток Рис. 33. Функция потока

событий событий

В пределе при N®¥ получается функция потока событий

H(t)=<n(t)>=lim n(t)=lim ,

которая возрастает плавно (рис. 33).

Функция (60) определяется для потока отказов и для потока восстановлений работоспособности одного объекта.

Число отказов и восстановлений работоспособности объекта за некоторый срок эксплуатации будут одинаковыми, т.к. после каждого отказа следует восстановление работоспособности. Но функции потока отказов и восстановлений работоспособности будут разными, т.к. различно время работы и время восстановления работоспособности за рассматриваемый период эксплуатации.

На практике функция потока отказов часто линейная в периоде t_э нормальной эксплуатации, следующем после периода t=t_n приработки. Это свойственно для стационарного потока и

H(t)=H(t_n)+w(t+t_n),

где w=const - параметр потока событий.