Линеаризация экспоненциальной функции

Линеаризация позволяет существенно упростить расчеты показателей безотказности высоконадежных элементов, для которых вероятность P(t) безотказной работы близка к единице [P(t)>0,9], а произведение значительно меньше единицы (lt<0,1). Она состоит в замене нелинейной функции на линейную на некотором интервале, в пределах которого ошибка не превышает заданной.

Обычно при линеаризации нелинейную функцию заменяют касательной к ней в желаемой точке. Для этого функцию раскладывают в ряд Тейлора и отбрасывают нелинейные члены. В нашем случае функцию можно разложить в ряд Маклорена (частный случай ряда Тейлора, когда абсцисса точки разложения равна нулю).

Разложим P(t)= в ряд Маклорена:

P(t)=P(0)+ + +...+ + ,

где 0<x<1, или

P(t)=1-lt+ - +...

Отбросим нелинейные члены, тогда (см. рис. 21)

P(t)= @ 1-lt.

Следовательно, (см. рис. 22)

F(t)=1- @ lt.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Условия возникновения нормального распределения устанавливаются центральной предельной теоремой теории вероятностей. Так как эти условия на практике часто выполняются, то нормальное распределение является самым распространенным распределением, наиболее часто встречающимся в случайных явлениях природы.

Наличие этих закономерностей связано с массовостью явлений. Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человеку еще с древности. Случайные отклонения от среднего в массе погашаются, нивелируются, т.е. проявляется устойчивость средних.

Одна из теорем (теорема Бернулли) утверждает, что при большом числе опытов частота события приближается (точнее, сходится по вероятности) к вероятности этого события.

Нормальное распределение возникает тогда, когда отклонение случайной величины создают многие примерно равнозначные по воздействию независимые (или слабо зависимые) между собой факторы, каждый из которых оказывает на случайную величину сравнительно малое влияние.

Отклонение Х случайной величины можно представить как сумму отклонений х₁+х₂+...+x_n, вызванных отдельными факторами, при любом распределении каждого слагаемого:

X=х₁+х₂+...+x_n. (40)

Распределение случайной величины оказывается близким к нормальному при выполнении перечисленных условий центральной предельной теоремы при любом распределении каждого слагаемого.

Приближение к нормальному распределению оказывается тем точнее, чем больше слагаемых в сумме и чем меньшее влияние на сумму оказывает каждое слагаемое при их примерной равнозначимости.

Удовлетворительное приближение к нормальному распределению практически получается при сравнительно небольшом числе слагаемых - порядка 10 и даже меньше. Однако, если одно из слагаемых оказывает на сумму значительно большее влияние, чем другие, то это слагаемое определит в общих чертах распределение суммы.

Очевидно, что сумма любого числа нормально распределенных величин всегда имеет нормальное распределение.

Нормальным распределением хорошо описываются нагрузки в машинах, механические характеристики материалов (предел текучести, предел прочности, предел выносливости), несущая способность деталей машин, ресурс и срок службы объектов при изнашивании и т.д.