Нелинейные модели регрессии и их линеаризация.
I класс: регрессии, нелинейные относительно включённых параметров, но линейные по оцениваемым параметрам.
1) 
или 
полиномы различных степеней;
2) равносторонняя гипербола 
; 
; 
.
II класс: регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
1) степенная 
2) показательная 
3) экспоненциальная 
Нелинейная регрессия по включённым переменным определяется как в ЛР методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так в параболе второй степени
,заменим 
, 
получим двухфакторное уравнение линейной регрессии
Для уравнения третьего порядка
получим трехфакторную модель ЛР.
.
Для полинома к-го порядка
, получим линейную модель множественной регрессии с k объясняющими переменными
.
Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с её методами оценивания параметров и проверки гипотез. Как показывает опыт, чаще используется парабола второй степени, редко – полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высокой степени связаны с требованием однородности исследуемой совокупности, чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно, менее однородна совокупность по результативному признаку.
Парабола второй степени целесообразна, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассмотренных признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем нулю первую производную
, 
, 
, 
.
Исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи и параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретированными, а форма связи часто заменяется другими, нелинейными моделями.
МНК для параболы:
Решение методом Крамера:
,
где 
- главный определитель системы,
частные определители.
При b > 0 и c < 0 кривая симметрична относительно высшей точки, то есть мочки перелома кривой. В экономике, зависимость зарплаты работников физического труда от возраста – с увеличением возраста повышается зарплата ввиду повышения опыта и квалификации работника. Однако с определённого возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда может приводить к снижению заработной платы.
Равносторонняя гипербола для уравнения имеет вид 
Используется для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объёмом выпускаемой продукции, времени обращения товаров от величины товарооборота, то есть на микро- и макроуровнях. Классическим примером её является кривая Филипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и % прироста зарплаты у: 
.
Английский экономист Филипс А. В., анализируя данные более чем за 100-летний период, в конце 50-х годов ХХ века установил обратную зависимость % прироста зарплаты от уровня безработицы.
.
МНК:
При b ≠ 0 имеем обратную зависимость, которая при 
характеризуется нижней асимптотой, то есть минимальным предельным значением у, оценкой которого служит параметр а. Для уравнения Филипса 
величина параметра а, равная 0,00679, означает, что с ростом уровня безработицы темп прироста зарплаты стремится к 0. Соответственно, можно определить тот уровень безработицы, при котором зарплата оказывается стабильной и темп прироста её равен 0.
При c < 0 имеем медленно повышающуюся функцию с верхней асимптотой при , то есть с максимально предельным уровнем у, оценку которой даёт параметр а.
Например, взаимосвязь доли расходов на товары длительного пользования и общих сумм расходов (или доходов) – называются кривыми Энгеля (нем. ст. 1857). Э. Энгель сформулировал закономерность – с ростом дохода доля доходов, расходуемых на продовольствие, уменьшается, а доля доходов, расходуемых на непродовольственные товары, будет возрастать. Однако, это увеличение не 
.
у – доля расхода на непродовольственные товары;
х – доходы (или общая сумма расходов как индикатор дохода)
Равносторонняя гипербола не единственная возможная функция для описания кривой Энгеля, можно использовать полулогарифмическую кривую 
. Заменив 
, получим 
.
МНК: 
Ещё возможно к I классу отнести 
.
МНК:
Уравнение с квадратными корнями используется в исследованиях урожайности, трудоёмкости сельскохозяйственного производства.
Если нет каких-либо теоретических обоснований в использовании данного вида кривых, то основная цель подобных преобразований состоит в том, чтобы для преобразованных переменных получить более простую модель регрессии, чем для исходных данных.
Класс II нелинейных уравнений по оцениваемым параметрам делится на 2: внутренние линейные и внутренние нелинейные модели.
Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью специальных преобразований приводится к линейному виду.
Если же модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции.
При изучении эластичности спроса от цен используется степенная функция 
, где у – спрашиваемое количество, х – цена.
Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры а и b неаддитивны. Однако, её можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по е приводит к линейному виду: 
оценка по МНК.
Если же 
внутренне нелинейна.
Внутренне нелинейны будут модели:
или 
Они не могут быть преобразованы в линейные.
Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, степенная функция 
, связано это с тем, что параметр b имеет чёткое экономическое истолкование, то есть он является коэффициентом эластичности.
Это значит, что b показывает, насколько % изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Рассмотрим пример 
Зависимость спроса от цен, с увеличением цен на 1% спрос снижается на 1,12%.
- первая производная, характеризующая соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.
Для степенной функции 
.
Коэффициент эластичности можно определить и для других форм связи, то только для степеней функции он представляет собой постоянную величину = b.
Для 
.
В силу того, что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения х, то рассчитываем средний показатель эластичности:
.
Для оценки 
применяется МНК
к уравнению 
b – определяется из системы, а «а» - косвенным путем, после потенцирования величины ln a.
Например,
Поскольку а – экономически не интерпретируется, то нередко зависимость остаётся в виде логарифмически линейной. В виде степенной функции изучаем не только спрос, но и предложение.
Обычно эластичность спроса: b<0, а эластичность предложения: b>0.
Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчёт экономического смысла не имеет. Например, тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в %. Вряд ли кто будет определять на сколько % может измениться зарплата с ростом стажа работы на 1%. Или на сколько % изменится урожайность пшеницы, если качество почвы измеряемое в баллах, изменится на 1%.
Изучая соотношение ставок межбанковского кредита (у) в % и срока его предоставления в днях (х), получено УР.
Э=0,352% лишён смысла ибо срок предоставления не изменяется в %.
При использовании для этой же задачи линейной зависимости
b=0,403 в % показывает изменение ставок кредита с увеличением срока их предоставления на 1 день.
Практическое применение экспоненты возможно, если результативный признак не имеет отрицательных значений. Поэтому, если исследуется, например, финансовый результат деятельности предприятий, среди которых наряду с прибыльными есть и убыточные, то данная функция не может быть использована.