Характеристики вариационного ряда.

Мода– значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности.

Медиана– значение признака, приходящееся на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычисление медианыв диск­ретных рядах распределения имеет специфику. Если такой ряд распределения имеет нечетное число членов, то медианой будет вариант, находящийся в середине ранжированного ряда. Если ранжированный ряд распределения состоит из четного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух зна­чений признака, расположенных в середине ряда.

Пример.Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.10.

Таблица 7.10

Распределение обуви, проданной коммерческой фирмой в январе 1998 г.

Размер

44 и более

Итого

Количество про­данных пар, % к итогу

Накоп­ленные частоты

-

В этом ряду распределения мода равна 42. Именно этот раз­мер обуви в январе 1998 г. пользовался наибольшим спросом.

Для определения медианы надо подсчитать сумму накоплен­ных частот ряда. Наращивание продолжается до получения на­копленной суммы частот, впервые превышающей половину. В нашем примере сумма частот составила 100, ее половина – 50.

Накопленная сумма частот ряда равна 62. Ей соответствует зна­чение признака, равное 40. Таким образом, 40-й размер обуви является медианным.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле

,

где х_Мо – нижняя граница значения интервала, содержащего моду;

i_Мо – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+l – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана интервального ряда распределения определяется по формуле

,

где х_Ме – нижняя граница значения интервала, содержащего медиану;

i_Mе – величина медианного интервала;

Σf – сумма частот;

S_Me-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интер­валу;

f_Me – частота медианного интервала

Пример.Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 7.11.

Следовательно, наибольшее число семей имеют среднедушевой доход 772 руб.

Таким образом, половина семей города имеет среднедушевой доход менее 780 руб., остальные семьи – более 780 руб.

Таблица 7.1

Распределение семей города по размеру среднедушевого дохода

в январе 1998 г.

Группы семей по размеру дохода, руб.	Число семей	Накопленные частоты	Накопленные частоты, % к итогу
До 500
500-600
600-700
700-800
800-900
900-1000
Свыше 1000
Итого		-	-

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах можно отыскать значение признака у любой по порядку едини­цы ранжированного ряда. Например, можно найти значение при­знака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, десять или сто частей. Эти величины называются «квартили», «децили» и «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний (Q,), отделяющий 1/4 часть сово­купности с наименьшими значениями признака, и квартиль вер­хний (Q₃), отсекающий 1/4 часть с наибольшими значениями при­знака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут мень­ше по величине Q₁; 25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃ и остальные 25% превосходят Q₃. Средним квартилем Q₂ является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используют формулы:

;

,

где – нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25%);

– нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (интер­вал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

– накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля;

– частота интервала, содержащего нижний квартиль;

– то же для верхнего квартиля.

Рассмотрим расчет нижнего и верхнего квартилей по данным табл. 7.11. Нижний квартиль находится в интервале 600-700, накопленная частота которого равна 30%. Верхний квартиль ле­жит в интервале 800-900 с накопленной частотой 77%. Поэто­му получим:

Итак, 25% семей имеют среднедушевой доход менее 671 руб., 25% семей – свыше 891 руб., а остальные имеют доход в преде­лах 671-891 руб.

Задачи и упражнения

7.1.Распределение студентов одного из факультетов по воз­расту характеризуется следующими данными:

Возраст студентов, лет									Всего
Число студентов

Вычислите: а) размах вариации; б) среднее линейное откло­нение; в) дисперсию; г) среднее квадратическое отклонение; д) относительные показатели вариации возраста студентов.

7.2. Определите среднюю длину пробега автофургона торгово-посреднической фирмы и вычислите все показатели вариации, если известны:

Длина пробега за один рейс, км	Число рейсов за квартал
30-50
50-70
70-90
90-110
110-130
130-150
Всего

7.3. Имеется следующий ряд распределения телеграмм, при­нятых отделением связи, по числу слов:

Количество слов в телеграмме	Число телеграмм
Итого

Рассчитайте абсолютные и относительные показатели вариации.

7.4. Средняя урожайность зерновых культур в двух районах за 1991-1995 гг. характеризуется следующими данными, ц/га:

1-й район
2-й район

Рассчитайте все показатели вариации. Определите, в каком районе урожайность зерновых культур более устойчива.

7.5. Имеются следующие данные выборочного обследования студентов одного из вузов:

Затраты времени на дорогу до ин­ститута, ч	Число студентов, % к итогу
До 0,5
0,5-1,0
1,0-1,5
1,5-2,0
Свыше 2,0
Всего

Вычислите абсолютные и относительные показатели вариа­ции.

7.6. Имеются следующие данные о распределении скважин в одном из районов бурения по глубине:

Группы скважин по глубине, м	Число скважин
До 500
500-1000
1000-1500
1500-2000
Свыше 2000
Итого

Определите дисперсию и среднее квадратическое отклонение глубины скважин, применяя способ моментов и отсчета от ус­ловного нуля.

7.7. Акционерные общества области по среднесписочной численности работающих на 1 января 1998 г. распределялись следующим образом:

Группы АО по среднесписочной численности работающих	До	400-600	600-800	800-1000	1000-1200	1200-1400	1400-1600	1600-1800	Итого
Количество АО

Рассчитайте: а) среднее линейное отклонение; б) диспер­сию; в) среднее квадратическое отклонение; г) коэффициент вариации.

7.8. По данным о распределении сельских населенных пунк­тов по числу дворов вычислите общую дисперсию тремя спосо­бами: а) обычным; б) упрощенным; в) по формуле .

Населенные пункты по числу дворов	Число населенных пунктов, % к итогу
До 100	15,5
101-200	28,6
201-300	21,7
301-400	20,3
Свыше 400	13,9
Итого	100,0

7.9. Имеются следующие данные о распределении сотрудни­ков коммерческого банка по среднемесячной заработной плате:

Группы сотрудников по среднемесячной заработной плате, тыс. руб.	Количество сотрудников, чел.
До 3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-8
8-9
9-10
Свыше 10
Итого

Определите общую дисперсию тремя способами: а) обычным; б) упрощенным; в) по формуле .

7.10. Средняя величина признака в совокупности равна 19, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака – 397. Определите коэффициент вариации.

7.11. Дисперсия признака равна 9, средний квадрат индиви­дуальных его значений – 130. Чему равна средняя?

7.12. Средняя величина в совокупности равна 16, среднее квадратическое отклонение – 8. Определите средний квадрат индивидуальных значений этого признака.

7.13. Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 100, а средняя – 15. Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивиду­альных значений признака от величины, равной 10 и 25.

7.14. Средняя величина признака равна 14, а дисперсия – 60. Определите средний квадрат отклонений вариантов признака от 19.

7.15. Средний квадрат отклонений вариантов признака от произвольной величины равен 300, а сама произвольная величи­на равна 70 единицам. Определите дисперсию признака, если известно, что средняя величина его варианта равна 80.

7.16. Средний квадрат отклонений вариантов признака от некоторой произвольной величины равен 61. Средняя величина признака больше произвольной величины на 6 единиц и равна 10. Найдите коэффициент вариации.

7.17. Если дисперсия равна 20 000 единицам, а коэффициент вариации – 30%, то каков будет средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 250 единицам?

7.18. По данным таблицы о распределении пряжи по крепо­сти нити вычислите все виды дисперсий. Определите общую дисперсию по правилу сложения дисперсий.

1 группа пряжи (менее крепкая)	II группа пряжи (более крепкая)
Крепость нити, г	Число проб	Крепость нити, г	Число проб
120-130		200-210
130-140		210-220
140-150		220-230
150-160		230-240
160-170		240-250
170-180		250-260
180-190		260-270
190-200

7.19. Товарооборот по предприятиям общественного питания на одного работника за квартал характеризуется следующими данными:

Предприятие	Доля предприя­тий в общей численности работников, %	Товарооборот в расчете на одного работни­ка, тыс. руб.	Дисперсия товарооборота в группе
Столовые Кафе, закусочные Рестораны			3,29 36,00 9,00

Определите все виды дисперсий товарооборота предприятий общественного питания.

7.20.Имеются данные о распределении семей сотрудников финансовой корпорации по количеству детей:

Число детей в семье	Число семей сотрудников по подразделениям
первое	второе	третье
			-

Вычислите: а) внутригрупповые дисперсии; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий; в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию. Проверьте правильность произведения рас­четов с помощью правила сложения дисперсий.

7.21.Распределение основных фондов по малым предприя­тиям отрасли характеризуется следующими данными:

Группы предприятий по стоимости основных фондов, тыс. руб.	Число предприятий	Основные фонды в среднем на предприятии, тыс. руб.	Групповые дисперсии
12-27			1,14
27-42			1,09
42-57			1,69
57-72			1,84

Рассчитайте коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение. Сделайте выводы.

7.22. Имеются следующие данные, характеризующие фермер­ские хозяйства региона:

Группы хозяйств по стои­мости удобрений на 1 га зерновых, тыс. руб.	Число хозяйств	Средняя урожай­ность, ц/га	Дисперсия урожайности в группе
До 1			6,25
1-2			3,61
2 и более			8,41

Определите коэффициент детерминации и эмпирическое кор­реляционное отношение при условии, что посевные площади под зерновыми культурами во всех хозяйствах одинаковы. Сде­лайте выводы.

7.23. Распределение стоимости продукции, предназначенной для экспортных поставок, по цехам предприятия представлено следующими данными:

Цех	Стоимость всей произведенной продукции, тыс. руб.	В том числе стоимость экспортной продукции, тыс. руб.
Итого

Вычислите: а) среднюю из внутригрупповых, межгрупповую и общую дисперсию дисперсии доли экспортной продукции; б) коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

7.24. Имеются данные о распределении семей города по числу детей.

Число детей							Итого
Число семей, % к итогу

Используя центральные моменты первых четырех порядков, рассчитайте коэффициенты асимметрии и эксцесса. Сделайте выводы.

7.25. Распределение магазинов по размеру товарооборота за октябрь 1996 г. характеризуется следующими данными:

Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов	Группы магазинов по размеру товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов
До 200		500-600
200-300		600-700
300-400		700-800
400-50		Свыше 800
Итого	-	-

Определите показатели асимметрии и эксцесса распределе­ния магазинов по размеру товарооборота. Сделайте выводы.

7.26. При исследовании трудовой активности сотрудников организации (отработано человеко-дней за год) получены сред­ние величины и центральные моменты:

	Для мужчин	Для женщин
Центральные моменты
-4800

Используя показатели асимметрии и эксцесса, сравните ха­рактер распределения мужчин и женщин по трудовой активнос­ти. Сделайте выводы.

7.27. По данным выборочных обследований домашних хо­зяйств получены средние величины и центральные моменты:

	Для годичного зара­ботка главы семьи	Для среднедушевого дохода семей
Центральные моменты	11,8 540,0 6800,0 830000,0

На основе показателей асимметрии и эксцесса сравните ха­рактер распределения домашних хозяйств по годичному заработку главы семьи и среднедушевому доходу. Сделайте выводы.

7.28. Распределение 1000 семей по уровню душевого дохода за месяц характеризуется следующими данными:

Группы семей по среднедушевому доходу в месяц, руб.	Число семей	Частоты теоретического распределения
нормального	логарифми­чески-нормального
до 500
500-600
600-700
700-800
800-900
900-1000
1000-1100
1100-1200
1200-1300
1300 и более
Итого

На основе критерия χ² проверьте, согласуется ли распределе­ние семей по среднедушевому доходу с нормальным или лога­рифмически-нормальным распределением с вероятностью 0,95.

7.29.По данным задачи 7.28 проверьте близость эмпиричес­кого и теоретического распределений с помощью критериев Романовского и Колмогорова.

7.30. Результаты экзамена по теории статистики в одной из студенческих групп представлены в таблице:

Экзаменационные оценки	Отлично (5)	Хорошо (4)	Удовлетворительно (3)	Неудовлетворительно (2)	Итого
Число оценок

Найдите модальный и медианные баллы успеваемости сту­дентов.

7.31. При изучении качества семян пшеницы было получено следующее распределение семян по проценту всхожести:

Процент всхожести								Свыше 95	Итого
Число проб, % к итогу

Рассчитайте моду и медиану.

7.32. Вычислите моду и медиану количественного состава семей города на основании следующего их распределения по числу совместно проживающих членов семьи:

Число членов семьи							Итого
Число семей, % к итогу

7.33. С целью исследования качества деталей на предприя­тии проверена партия из 100 деталей. Результаты представлены в следующей таблице:

Группы деталей по весу, г	40-50	50-60	60-70	70-80	80-90	90-100	100-110	110-120	Итого
Число деталей

Определите моду, медиану, квартили и децили.

7.34. По нижеследующим данным вычислите моду, медиану и квартили.

Группы порций торфа по влажности, %	Число проб	Группы порций торфа по влажности, %	Число проб
20-22		26-28
22-24		28-30
24-26		30-32
Итого	-	-

7.35. Рассчитайте моду, медиану, квартили и децили по дан­ным задачи 7.25.

7.36. Определите моду, медиану, квартили и децили по дан­ным задачи 7.28.

Рекомендации преподавателям

1. Практические занятия.На практических занятиях целесо­образно часть времени отвести обсуждению со студентами сущ­ности, назначения и использования каждого из показателей ва­риации. Особое внимание следует обратить на относительные показатели вариации и разные виды дисперсий, их единство и различия, добиваясь глубокого усвоения студентами их логичес­кого содержания. Студенты должны усвоить смысл практическо­го применения таких показателей, в частности при изучении вза­имосвязи рядов динамики и выборочного наблюдения.

В результате решения задач студенты должны овладеть спо­собами вычисления того или иного показателя, выработать на­выки проведения расчетов, а также усвоить сущность и задачи изучения вариации социально-экономических явлений. Задачи для решения следует выбрать в той последовательности, в какой они даны в этой главе. Небольшие задачи в главе (с 7.10 по 7.17) даны для закрепления понимания взаимосвязи средних величин, разных показателей вариации и их математических свойств. Необходимо, чтобы эти задачи студенты научились решать, не прибегая к вычислениям на бумаге или счетной технике. Когда студенты научатся решать задачи в уме, можно считать, что они достаточно усвоили основной материал темы.

Завершением практических занятий по теме должно быть определение структурных характеристик вариационного ряда и выяснение их смысла. Особое внимание надо обратить на вы­числение и экономическую интерпретацию квартилей ряда рас­пределения.

2. Задание для самостоятельной внеаудиторной работы студентов.Задания (два-три) могут быть даны в виде последо­вательного набора задач в соответствии с построением практи­ческих занятий или в виде одной комплексной задачи с услови­ем последовательного ее решения. Можно дать сведения о двух совокупностях крупнейших компаний (приложение 14), предло­жите провести исследование вариации (давая студентам разные пары взаимосвязанных признаков) в каждой совокупности ком­паний, затем в целом по обеим совокупностям, а также исследо­вание тесноты связи с определением ее количественной характе­ристики в виде корреляционного отношения (эмпирического). Выбор типа задания зависит от многих конкретных условий преподавания курса теории статистики. Если время, отведенное учебным планом на курс, ограничено, наиболее целесообразен первый или второй тип задания.

3. Аудиторная контрольная работа.Она должна быть рас­считана на 1-2 ч аудиторной работы (в зависимости от отведенно­го на курс времени) и содержать последовательный набор неболь­ших задач или одну комплексную задачу, на основе данных кото­рой могут быть рассчитаны разные показатели вариации.