Структурные характеристики вариационного ряда

При изучении вариации примеряются такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественного его структуру, строение.

Медиана (Ме) – величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется следующая формула:

(5.3)

где Ме – медиана; x₀ – нижняя граница интервала, в котором находится медиана; – накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; – частота в медианном интервале; i – величина интервала; k – число групп.

В дискретном вариационном ряду медианой следует считать значение признака в той группе, в которой накопленная частота превышает половину численности совокупности.

Пример.Найдеммедиану в нашем примере. Для этого составим табл. 5.1.

Таблица 5.1. Распределение предприятий общественного питания области по объему розничного товарооборота

Группы предприятий по розничному товарообороту, млн. руб. ( )	Число предприятий ( )	Середина интервала, млн. руб. ( )		Накопленная частота ( )
100 – 170 170 – 240 240 – 310 310 – 380 380 – 450 450 – 520 520 - 590
Итого		–		–

В табл. 5.1 медианным является среднее из 65 значений, т.е. тридцать второе от начала ряда значение розничного товарооборота. Как видно из ряда накопленных частот, оно находится в третьем интервале. Тогда:

При нечетном числе единиц совокупности номер медианы, как видно, равен не , как в формуле (5.3), а , но это различие несущественно и обычно игнорируется на практике.

Квартили (Q) – значения признака, делящие совокупность на четыре равные по числу единиц части. Для первого и третьего квартилей используются следующие формулы:

(5.4)

(5.5)

Второй квартиль, совпадает с медианой.

Пример.Рассчитаем первый и третий квартиль для нашего примера.

;

Значения признака, делящие ряд на пять равных частей, называют квинтилями, на десять частей – децилями, на сто частей – перцентилями.

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности.

В интервальном вариационном ряду для нахождения моды применяется следующая формула:

, (5.6)

где x₀ – нижняя граница модального интервала; f_Мо – частота в модальном интервале; f_Мо-1 – частота в предыдущем интервале; f_Мо+1 – частота в следующем интервале за модальным; i – величина интервала.

Пример.По данным табл. 5.1 рассчитаем моду:

Вычисление моды в интервальном ряду весьма условно.

К изучению структуры вариационного ряда средняя арифметическая величина тоже имеет отношение, хотя основное значение этого обобщающего показателя другое. В ряду распределения хозяйств по урожайности (табл. 5.1) средняя величина урожайности вычисляется как взвешенная по частоте середина интервала x^/ по формуле:

(5.7)

Различие между средней арифметической величиной, медианой и модой невелико. Если распределение по форме близко к нормальному закону, то медиана находится между модой и средней величиной, причем ближе к средней величине, чем к моде.

Показатели вариации

К основным показателям вариации относятся:

1. Размах или амплитуда вариации (R) – абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в совокупности значений. Размах вариации вычисляется по формуле:

(5.8)

Безусловным достоинством этого показателя является простота расчета. Однако размах вариации зависит от величины только крайних значений признака, поэтому область его применения ограничена достаточно однородными совокупностями.

2. Среднее линейное отклонение ( ) по абсолютной величине вычисляется как взвешенное по частоте отклонение по модулю середин интервалов от средней арифметической величины. Среднее линейное отклонение вычисляется по формуле:

(5.9)

Простота расчета и интерпретации составляют положительные стороны данного показателя, однако математические свойства модулей «плохие»: их нельзя поставить в соответствие с каким-либо вероятностным законом, в том числе и с нормальным распределением, параметром которого является не средний модуль, а среднее квадратическое отклонение.

Пример.По данным табл. 5.1 рассчитаем среднее линейное отклонение.

Это означает, что в среднем розничный товарооборот в изучаемой совокупности предприятий общественного питания отклонялся от среднего товарооборота по области на 103,2 млн. руб..

3. Дисперсия ( ) – средняя из квадратов отклонений вариантов значений признака от их средней величины. Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:

а) простая (для несгруппированных данных):

(5.10)

б) взвешенная (для сгруппированных данных):

(5.11)

Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из которых позволяют упростить ее вычисления:

§ дисперсия постоянной величины равна нулю;

§ если все варианты значения признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится;

§ если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз (k раз), то дисперсия уменьшиться в k² раз.

4. Среднее квадратическое отклонение ( ) представляет собой корень квадратный из дисперсии. Данный показатель рассчитывается по следующим формулам:

а) для несгруппированных данных:

(5.12)

б) для вариационного ряда:

(5.13)

Среднее квадратическое отклонение по величине в реальных совокупностях всегда больше среднего модуля отклонений. Соотношение зависит от наличия в совокупностях резких, выделяющихся отклонений и может служить индикатором «засоренности» совокупности неоднородными с основной массой элементами: чем это соотношение больше, тем сильнее подобная «засоренность». Для нормального закона распределения .

Пример.По данным табл. 5.1 среднее квадратическое отклонение розничного товарооборота предприятий общественного питания составило:

5. Среднее квартильное расстояние. Данный показатель силы вариации, характеризует ее не по всей совокупности, а лиши в центральной части, т.е. средняя величина разности между квартилями. Данный показатель рассчитывается по формуле:

(5.14)

где q – среднее квартильное расстояние; Q₁ и Q₃ – соответственно первая и третья квартили распределения.

Этот показатель можно применить вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений.

6. Для оценки интенсивности вариации и для сравнения ее в разных совокупностях и тем более разных признаков необходимы относительные показатели вариации. Они вычисляются как отношение абсолютных показателей силы вариации, рассмотренных ранее, к средней арифметической величине признака. Получаем следующие показатели:

а) относительный размах вариации :

(5.15)

б) относительное отклонение по модулю m:

(5.16)

в) коэффициент вариации как относительное квадратическое отклонение :

(5.17)

г) относительное квартильное расстояние d:

(5.18)

Наиболее часто применяемый показатель относительной колеблемости – коэффициент вариации. Его используют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному).

7. Межгрупповая дисперсия ( ) является мерой колеблемости частных средних по группам вокруг общей средней и исчисляется по формуле:

(5.19)

где k – число групп; n_j – число единиц в j-й группе; – частная средняя по j-й группе; – общая средняя по совокупности единиц.

8. Внутригрупповая дисперсия ( ) характеризует вариацию, обусловленную влиянием случайных факторов, и рассчитывается по формуле:

(5.20)

9. По совокупности в целом вариация значений признака под влиянием прочих факторов характеризуется средней из внутренних дисперсий:

. (5.21)

Сумма указанных дисперсий образует общую дисперсию признака:

. (5.22)

Данное равенство определяет правило сложения дисперсий. Оно используется, в частности, в корреляционном анализе при определении тесноты связи результативного признака и факторных.

Пример.О производительности станков одного из цехов предприятия известны следующие данные (табл. 5.2). По этим данным необходимо определить:

a. внутригрупповую дисперсию по выработке деталей одним станком, определенного вида;

b. среднюю из внутригрупповых дисперсий по трем группам станков;

c. межгрупповую дисперсию;

d. общую дисперсию производительности станков данного цеха.

Таблица 5.2. Информация о производительности станков одного из цеха

Вид станков	Число станков	Дневная выработка деталей одним станком, шт.
Сверлильные Фрезерные Шлифовальные		150, 200 110, 120, 140, 150 200, 220, 250

1. Исчислим вначале средние по каждой группе:

2. Для расчета внутригрупповых дисперсий будем использовать формулу (5.20).

3. Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий, используя формулу (5.21):

4. Определим общую среднюю величину для расчета межгрупповой дисперсии:

5. Определим межгрупповую дисперсию, используя формулу (5.19):

6. Вычислим общую дисперсию, используя формулу (5.22):