Имеются данные о производстве деталей на заводе, тыс. штук.

Месяц	у, тыс.штук	Четырехмесячная скользящая средняя
нецентрированная	центрированная
январь	15,3
февраль	16,8	16,4
март	16,4	16,9	16,6
апрель	16,9	16,9	16,9
май	17,5	17,1	17,0
июнь	16,9	17,3	17,2
июль	17,1	17,1	17,2
август	17,5	17,4	17,2
сентябрь	16,9	17,7	17,5
октябрь	17,9	18,0	17,8
ноябрь	18,5
декабрь	18,6

Центрированные средние наносят на график с эмпирическими данными.

Рис. 3. Динамика производства деталей на заводе, тыс. штук

Особенность способа сглаживания рядов динамики на основе скользящих средних заключается в том, что полученные средние не дают теоретических рядов, в основе которых лежала бы определенная математическая закономерность.

Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. Оно основано на допущении, что изменения в рядах динамики могут быть выражены определенным математическим законом. На основе теоретического анализа выявляется характер явления во времени и на этой основе выбирается то или иное математическое выражение типа закономерности изменения явления:

- линейная функция

- полином второго порядка

- полином третьего порядка

- степенная функция

- показательная функция

и другие.

Данный прием сводится к следующему:

а) на основе экономического анализа явления за рассматриваемый период времени выявляется его характер;

б) исходя из характера явления выбирается то или иное математическое уравнение;

в) определяются параметры уравнения;

г) рассчитываются теоретические (выровненные) уровни ряда динамики, которые наносятся на график эмпирических значений;

д) прогнозируются уровни динамического ряда на основе аппроксимирующей модели на предстоящий период.

Рассмотрим выравнивание ряда динамики по прямой (таблица 9). Задача аналитического выравнивания решается с помощью метода наименьших квадратов, смысл которого состоит в том, что вычисленная линия теоретических уровней должна проходить в максимальной близости к фактическим уровням ряда, то есть

где y – исходные (эмпирические) уровни динамического ряда;

- расчетные (теоретические) уровни ряда динамики.

Выравнивание по прямой осуществляется по формуле:

где y – исходные (эмпирические) уровни ряда динамики

a и b – параметры уравнения,

t – время

Параметры уравнения находятся на основе системы уравнений:

Расчет параметров заметно упрощается, если перенести начало отсчета времени в середину исходного ряда (что бы ). Причем, если число уровней ряда нечетное, нумерация t следующая: …-3, -2, -1, 0, +1, +2, +3…. ; а если число уровней ряда четное, нумерация t будет следующая: …-5, -3, -1, +1, +3, +5….

При условии, что St=0 (графа В таблицы 9) исходные нормальные уравнения принимают вид:

,

отсюда .

Необходимые величины рассчитаны в графах Г и Д таблицы 9.

Параметризованное уравнение имеет вид

В полученное параметризованное уравнение подставляют значения t и получают расчетные значения результативного признака (графа Е таблицы 9), которые и являются тенденцией данного явления. Их наносят на график с эмпирическими данными.

Таблица 9

Расчетная таблица для аналитического выравнивания ряда динамики по прямой

Год	Эмпирические уровни ряда (y)	Условные обозначения времени (t)	t2	y*t
А	Б	В	Г	Д	Е
		-4		-884	219,32
		-3		-705	241,24
		-2		-544	263,16
		-1		-285	285,08
					307,0
		+1			328,92
		+2			350,84
		+3			372,76
		+4			394,68
Всего

Рис. 4. Динамика эмпирических и теоретических уровней ряда динамики

Аналогично рассматриваются другие виды функций. При оценке параметров полиномов используется МНК, степенная и показательная функции приводятся к линейному виду путем линеаризации.

Критерием выбора параметризованного (лучшего для прогнозирования) уравнения является наименьшая ошибка аппроксимации:

Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 10%.

Для выполнения прогноза в параметризованную модель подставляют перспективные значения t и получают расчетное значение . Поскольку рассматриваемые методы являются вероятностными, прогнозные значения должны рассчитываться с доверительным интервалом, определяемым по формуле:

D=tm

где D - предельная ошибка или доверительный интервал;

t – коэффициент доверия, соответствующий определенной вероятности, так для вероятности 0,954 t=2, для вероятности 0,997 t=3.

m - средняя ошибка или ошибка репрезентативности.

Ошибка репрезентативности определяется:

,

где - дисперсия y;

n - число уровней ряда.

Таким образом, прогнозные значения должны быть даны в интервале:

от ( -tm) до ( +tm).

Для нашего примера выполним прогноз на десятый год (t=5). Точечный прогноз составит: . Интервальный прогноз выполним с вероятностью 95,4% (коэффициент доверия равен 2), дисперсия равна . Отсюда ошибка репрезентативности:

Таким образом, прогнозные значения будут лежать в интервале:

.

Таким образом, с вероятностью 95,4% можно утверждать, что прогнозные значения будут находиться в интервале от 379 до 455 ед.

УСЛОВИЯ ДЛЯ ЗАДАЧ 21-30

По приведенным ниже данным:

а) построить график динамики изучаемого явления;

б) определить показатели анализа ряда динамики (за каждый период и средние);

в) определить основную тенденцию развития ряда динамики методом скользящей средней и методом аналитического выравнивания (вид функции определить самостоятельно, доказать правильность выбора с помощью ошибки аппроксимации);

г) осуществить прогноз анализируемого явления на одиннадцатый год.

д) сделать выводы.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Таблица 10