Матрица – строка - состоит из одной

А11 а12 а13

А = а21 а22 а23

А31 а32 а33

Виды матриц:

1. Прямоугольные матрицы размера (m * n):

4 -3 2 1 4 -3

3 -8 0 5 3 -8

1 7

Матрица – строка - состоит из одной

строки и n столбцов, размера (1 * n):

0 -4 6….1

Матрица – столбец – состоит из одного

столбца и m строк, размера (m * 1):

4. Квадратная матрица порядка n - это матрица, у

которой число строк равняется числу столбцов m=n.

Количество строк и столбцов определяет порядок матрицы.

2 -5 7

А = 3 -4 1

1 2 -3

Среди квадратных матриц можно выделить следующие:

4.1 Верхняя и нижняя треугольные матрицы : В верхней

треугольной матрице все алименты, стоящие ниже главной

диагонали, равны нулю, а в нижней треугольной матрице

все элементы, стоящие выше главной диагонали, равны

нулю. Транспонирование верхнее треугольной матрицы

дает нижнюю треугольную матрицу и наоборот.

3 -5 4 2 0 0

0 4 -1 8 -5 0

0 0 2 4 6 3

4.2 Диагональная и скалярная матрицы: В диагональной

матрице ненулевыми являются только элементы, стоящие

на главной диагонали, а в скалярной матрице все эти

элементы должны быть одинаковыми. Определитель

диагональной и скалярной матриц равны произведению

диагональных элементов.

2 0 0 5 0 0

0 -1 0 0 5 0

0 0 6 0 0 5

4.3 Единичная матрица – это такая матрица, у которой

диагональные элементы равны единице, а остальные

элементы равны нулю. Определитель единичной матрицы

равен единице. Обозначается заглавной буквой Е.

1 0 1

Е = 0 1 0

0 0 1

Действия над матрицами:

Над матрицами можно выполнять как

линейные, так и нелинейные операции.

К линейным операциям над матрицами

относятся: сложение (вычитание) матриц,

умножение матрицы на число, линейная

комбинация матриц.Нелинейные операции

– произведение матриц, возведение матрицы

в целую степень.

Линейные операции над матрицами:

1.Сложение (вычитание) матриц – для того,

чтобы сложить (вычесть) две матрицы, нужно

сложить (вычесть) их соответствующие элементы

(т. е. элементы, стоящие на одинаковых

местах в обеих матрицах).

4 -7 5 1 -4 8 5 -11 13

А + В = 2 0 -3 + 12 -5 0 = 14 -5 -3

2.Умножение матрицы на число – для того, чтобы

умножить (разделить) матрицу на отличное от нуля

число, нужно умножить (разделить) на это

число все элементы этой матрицы.

4 -1 -20 5

-5 * А = -5 * 5 2 = -25 -10

3 -7 -15 35

Линейная комбинация матриц – матрица С

называется линейной комбинацией матриц А и В,

если выполняется равенство: С = А+ В, где

и - коэффициенты линейной комбинации.

-2 5 8 3 -42 13

С = 5В – 4А = 5 * 6 -7 - 4 * -1 -6 = 34 -11

1 -2 0 -11 5 34

Нелинейные операции над матрицами:

1.Произведение матриц – для того чтобы умножить

матрицу на число, необходимо все элементы

матрицы умножить на это число.

2.Возведение матрицы в целую степень –

при возведении матрицы в степень мы умножаем

ее саму на себя нужное число раз.. А = А * А

А = А * А * А = А * А = А * А

Определители и их свойства.

Определителем или детерминантом квадратной

матрицы порядка называется число, вычисляемое

из элементов этой матрицы по определенному

правилу. Обозначается А.Минором элемента aij ,

матрицы порядка n называется определитель

порядка (n-1), полученный из элементов матрицы

после вычеркивания из нее строки с номером i и

столбца с номером j, на пересечении которых

стоит этот элемент.Минор обозначается символом

Mij. Например, в матрице:

А11 а12 а13 4 -5 3

А = а21 а22 а23 = 2 0 -1

А31 а32 а33 -4 7 12

минор элемента а23 получается при вычеркивании

из матрицы А 2-ой строки и 3-его столбца,

оставшиеся элементы являются определителем 2-ого порядка

А11 а12 4 -5

М23 = а31 а32 = -4 7

Минор элемента 31

А12 а13 -5 3

М31 = а22 а23 = 0 -1

В этом случае определитель 3-его порядка

имеет 9 миноров 2-ого порядка.

Алгебраическим дополнением элемента aij

матрицы А порядка n называется минор

этого элемента Mij, взятой со знаком (-1):

Aij = (-1) * Mij. Если сумма номеров

строки и столбца данного элемента четная,

то алгебраическое дополнение и минор

элемента совпадают, а если эта сумма

нечетная, то алгебраическое дополнение и

минор имеют одинаковую величину, но

разные знаки. Например, для

рассматриваемой матрицы:

4 -5

А23 = (-1) М23 = -4 7

-5 3

А31 = (-1) М31 = 0 -1

Свойства определителей:

1.Определитель матрицы не изменяется при

ее транспонировании.Транспонирование –

перемена ролями строк и столбцов матрицы.

2.Если переставить в определители матрицы

два параллельных ряда, то определитель

сменит знак на противоположный.

3.Определитель матрицы равен нулю,

если все элементы какого-либо ряда равны нулю.

4. Определитель матрицы равен нулю, если

матрица содержит два одинаковых ряда.

5. Определитель матрицы равен нулю, если в

матрице есть ряд, элементы которого

представляют собой линейную комбинацию

соответствующих элементов других рядов.

6. Множитель, общий элементам какого-либо

ряда, можно вынести за знак определителя или

наоборот, чтобы умножить определитель на

число, нужно умножить на это число элементы

одного из рядов определителя.

7. Основное правило вычисления определителей

– Правило Разложения. Определитель квадратной

матрицы равен сумме произведений элементов

какой-либо строки (столбца) матрицы на

соответствующие им алгебраические дополнения.

8. Сумма произведений элементов какой-либо

строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения

элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Вычисление определителей:

1.Определитель матрицы 1-огопорядка равен

самому элементу этой матрицы.. А = | a11 | = a11

2.Определитель матрицы 2-ого порядка равен

разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

A11 a12

A = a21 a22 = a11 * a22 – a12 * a21

Системы линейных уравнений.

Правило Крамера Системой m линейных уравнений

с n неизвестными называется система вида:

a11x1 + a12x2 + ……..+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ……..+ a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ……..+ amnxn = b3

Матрица коэффициентов при неизвестных

называется основной матрицей системы:

A11 a12 a2n

A = a21 a22 a2n

Am1 am2 amn

b1x1

B =b2 - столбец свободных членов X = x2 – столбец неизвестных

bmxn

Если к основной матрице А добавить столбец свободных членов

В, получим расширенную матрицу А:

A11 a12 a2n b1

A = a21 a22 a2n b2

Am1 am2 amn bm

Решением системы линейных уравнение называется

совокупность чисел с1, с2, … сn, которая при подстановке

в каждое уравнение системы вместо неизвестных х1, х2,

… хn обращает эти уравнения в верные числовые равенства.

Совместной называется система, имеющая хотя бы одно решение.

Несовместной называется система, не имеющая решений.

Определенной называется совместная система, имеющая

единственное решение. Неопределенной называется совместная

система, имеющая бесконечное множество решение.

Теорема Крамера: Система n линейных уравнений с

n неизвестными имеет единственное решение тогда и

только тогда, когда определитель основной матрицы

отличен от нуля. Неизвестные системы находятся

по формулам Крамера:

где - главный определитель системы, то есть

определитель основной матрицы А, - определитель

неизвестного х1, который получается при замене столбца

с номером 1 в главном определителе на столбец свободных членов.

Действия над векторами.

Вектора можно складывать, вычитать и умножать на число.

1.Сложение двух векторов можно проводить

геометрически двумя способами. Правило треугольника:

совместить путем параллельного переноса начало второго

вектора с концом первого. Суммой этих векторов будет

вектор, идущий из начала первого в конец второго, этот

вектор замыкая ломаную из двух векторов образует треугольник.

Правило параллелограмма: Путем параллельного переноса

совмещаем начала обеих векторов, строим на этих векторах

параллелограмм. Тогда вектор диагонали этого параллелограмма,

идущий из их общего начала, будет суммой векторов.

2. Вычитание двух векторов.

3. Умножение вектора на число:результатом умножения

вектора на число является вектор длина которого равна

произведению длины вектора на модуль вектора: | a | = | | | a |.

Направление вектора не меняется, если число положительно

и меняется на противоположное, если число отрицательное.

11. Скалярное произведение векторов.

Определение 1: Скалярным произведением двух

ненулевых векторов называется число, равное

произведению модулей векторов – сомножителей

на косинус угла между ними:

( a, b ) = a * b = | a | * | b | cos

Определение 2: скалярное произведение двух

векторов равно модулю одного из них, умноженному

на проекцию второго вектора на первый:

( a, b ) = | a | * npab = | b | * npba

Свойства скалярного произведения:

1. ( a, b ) = ( b, a )

2. ( a, b + c ) = ( a, b ) + ( a ,c )

3. ( a, b) = ( a, b )

4. a * a = a = | a |

Скалярное произведение в координатной форме:

1.| a | = x1 + e1 + z1

( a, b ) x1x2 + y1y2 + z1z2

2. cos | a | *| b | x1 + y1 + z1 * x2 + y2 + z2

( a, b ) x1x2 + y1y2 + z1z2

3. Проекция вектора а на вектор b: прba = | b | x2 + y2 + z2

A,b,c – правая тройка

Свойства векторного произведения:

1. [a,b] = - [b,a] 2. [ a,b] = [a,b]

3. [a + b,c] = [a,c] + [b,c] 4. Векторное произведение

двух ненулевых векторов есть нулевой вектор тогда

и только тогда, когда сомножители коллинеарны.

Векторное произведение в координатной форме:

[ i, j ] = k, [ j, i ] = - k

[ j, k ] = i [ k, j ] = - i

[ k, I ] = j [ I, k ] = - j

X1 y1 z1

(a,b,c) = x2 y2 z2

X3 y3 z3

14. Уравнение прямой на плоскости.

1. Общее уравнение прямой - Ax + By + C = 0,

где A,B,C – постоянные коэффициенты,

причем A + B = 0.Частные случаи:

1.C = 0, A = 0, B = 0. Прямая, определяемая

уравнением Ax + By = 0, проходит через начало координат.

2. C = 0, A = 0, B = 0. Прямая, определяемая

уравнением By + C = 0, параллельна оси Ох.

3. C = 0, A = 0, B = 0. Прямая, определяемая

уравнением Ax + C = 0, параллельна оси Оy.

Уравнение прямой с угловым

коэффициентом – y = kx + b,k =tg

3. Уравнение прямой в отрезках a + b = 1

4. Нормальное уравнение прямой x cos + y sin – p = 0

X – x1 y – y1

m = n k2 – k1

7. Острый угол между прямыми - tg = 1 + k1k2

Ax0 + By0 + C

8. Расстояние от точки до прямой – D = A + B

9. Уравнение пучка прямых A1x + B1y + C1 + (A2x + B2y +C2) = 0

15. Уравнение плоскости в пространстве

1. Нормальное уравнение плоскости – x cos + y cos + z cos - p =0

A1 B1 C1

5. Условие параллельности плоскостей - A2 = B2 = C2

6. Условие перпендикулярности плоскостей – A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

|Ax0 + By0+Cz0|

7. Расстояние от точки до плоскости – D = A + B + C

Перпендикулярной вектору

A( x – x0 ) + B ( y – y0 ) + C( z – z0 ) = 0

9. Уравнение связи плоскостей – A1x + B1y + C1z +D1 +

( A2x + B2y + C2z + D2 ) = 0

X – x0 y – y0 z – z0

2. Канонические уравнения прямой в пространстве - m = n = p

x = mt +x0

3. Параметрические уравнения прямой в пространстве - y = nt + y0

z = pt + z0

x – x1 y – y1 z – z1

4. Уравнение прямой проходящей через две точки - x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1

Цилиндрические поверхности.

Цилиндрической называется поверхность,

которую описывает прямая (называемая образующей),

перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой

прямой (называемой направляющей).Характерным признаком

канонического уравнения цилиндра является то, что в уравнении

отсутствует одна переменная.Образующие цилиндра параллельно

той оси, координаты которой нет в уравнении. x y

Уравнение цилиндрических поверхностей – a + b + 0 * z = 1

22. Канонические поверхности. x y z

Уравнение канонической поверхности – a + b – c = 0

X y z

Уравнение канонической поверхности с осью симметрии ОУ – a - b + c = 0

Уравнение канонической поверхности с осью симметрии ОХ – -a + b + c = 0

23. Поверхности второго порядка.

1. Гиперболоиды – это поверхности, в двух сечениях которых

плоскостями, параллельными координатами, получаются гиперболы,

а в третьем – либо эллипс, либо окружность.

Различают два вида гиперболоидов: x y z

1.1 Однополостный гиперболоид - a + b - c = 1 x y z

Уравнение однополостного гиперболоида с осью симметрии ОУ - a - b + c = 1

X y z

Уравнение однополостного гиперболоида с осью симметрии ОХ –-a + b - c = 1

X y z

1.2 Двухполостный гиперболоид a - b + c = 1x y z

Уравнение двухполостного гиперболоида с осью симметрии ОУ – a - b + c = - 1

X y z

Уравнение двухполостного гиперболоида с осью симметрии ОХ – a + b + c = - 1

2. Параболоиды Различают два вида параболоидов:

X z

Уравнение эллиптического параболоида с осью симметрии ОУ – a + c = 2py

Y z

Уравнение эллиптического параболоида с осью симметрии ОХ – b + c = 2px

Гиперболический параболоид

X y

Уравнение гиперболического параболоида с осью симметрии ОZ – a - b = 2pz

X z

Уравнение гиперболического параболоида с осью симметрии ОУ – a - c = 2py

Y z

Уравнение гиперболического параболоида с осью симметрии ОХ – b - c = 2px

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической называется поверхность, которую

описывает прямая (называемая образующей),

перемещающаяся параллельно самой себе вдоль

некоторой прямой (называемой направляющей).

Характерным признаком канонического уравнения

цилиндра является то, что в уравнении отсутствует одна переменная.

Образующие цилиндра параллельно той оси, координаты

которой нет в уравнении. x y

Уравнение цилиндрических поверхностей – a + b + 0 * z = 1

А11 а12 а13

А = а21 а22 а23

А31 а32 а33

Виды матриц:

1. Прямоугольные матрицы размера (m * n):

4 -3 2 1 4 -3

3 -8 0 5 3 -8

1 7

Матрица – строка - состоит из одной

строки и n столбцов, размера (1 * n):

0 -4 6….1