Опр3 (Предел интегральной суммы).
Число называется пределом интегральной суммы при , если для любого положительного числа можно указать такое положительное число , что для любого разбиения сегмента , максимальная длина частичных сегментов которого меньше , независимо от выбора точек на сегментах выполняется неравенство: .
Обозначается так: .
Опр4 (Интеграл Римана. Определённый интеграл).
Ф. называется интегрируемой (по Риману) на сегменте , если конечный предел интегральных сумм этой ф. при . Указанный предел называются определённым интегралом от ф. по сегменту и обозначается следующим образом: .
Формула Ньютона – Лейбница.
Основная формула интегрального исчисления.
Теорема1.Любая непрерывна на интервале ф. имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является ф.: , где – любая фиксированная т. интервала .
Зам.: Первообразная также у непрерывной на сегменте ф. И в качестве можно взять .
Очевидно, что две любые первообразные данной ф. отличается на постоянную. Поэтому, по Т1 и замечанию к ней, можно утверждать что любая первообразная непрерывной на сегменте функции имеет вид: , где – некоторая постоянная. Полагая в последней ф. , затем , получим: , . Из этих равенств получаем формулу Ньютона – Лейбница: .
Замена переменной и интегрирование по частям.
Замена переменной под знаком определённого интеграла.
Пусть выполнены следующие условия:
1) ф. непрерывна на сегменте ;
2) сегмент является множеством значений некоторой ф. , определённой на сегменте и имеющие на этом сегменте непрерывную производную;
3) , .
Тогда справедлива формула:
Называемая формулой замены переменной под знаком определённого интеграла.
Интегрирование по частям.
Пусть ф. и имеют непрерывные производные на сегменте . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определённых интегралов:
Т.к. и , то формулу можно переписать:
Несобственные интегралы.
Определённый интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется хотя бы одно из условий:
1) Предел и (или оба предела) являются бесконечными;
2) Ф. имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала .
Бесконечные пределы интегрирования:
1) Если непрерывна в интервале , то .
2) Если непрерывна в интервале , то .
Если пределы и конечны, то несобственный интеграл сходится. Иначе расходится.
3) Если непрерывна на , то .
Если для оба интеграла в правой части сходятся, то и интеграл тоже сходится. Иначе он расходится.
Геометрические приложения определенного интеграла.
Площадь плоской фигуры.
1) Если ф. непрерывна и неотрицательна на отрезке . Тогда площадь фигуры, ограниченной , отрезками прямых , и графиком ф. , вычисляется по формуле: .
2) Если на отрезке а так же непрерывны на нём, то площадь фигуры ограниченной прямыми , , графиками ф. , вычисляется по формуле: .
3) Если ф. на отрезке принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключённая между кривой и , равна: .
Вычисление площади криволинейного сектора.
Пусть кривая задана в полярных координатах ур. , , причём – непрерывная и неотрицательная на отр. ф. Фигуру, ограниченную кривой и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , будем называть криволинейным сектором. Площадь вычисляется по формуле: .