I. признаки возрастания и убывания функции

Критерий возрастания и убывания функции: пусть I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru - дифференцируемая на интервале I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru функция. Функция I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru возрастает на I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru тогда и только тогда, когда её производная больше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Функция I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru убывает на I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru тогда и только тогда, когда её производная меньше или равна нулю в любой точке этого промежутка.

Критерий возрастания и убывания функции удобно представляется в виде схемы:

f(x)ä I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru
f(x) æ I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru
  1. Достаточные условия существования экстремума

Критическими точками функции (первого рода) называются точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. По теореме Ферма (необходимое условие существования экстремума функции), точки экстремума нужно искать среди критических точек. Но не любая критическая точка является точкой экстремума функции. Чтобы выяснить, в каких критических точках функция имеет экстремум, рассмотрим достаточные условия существования экстремума.

Достаточные условия существования экстремума (критерий нахождения точек экстремума):пусть функция I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru непрерывна и дифференцируема в некоторой окрестности точки хо. Тогда:

1. если производная I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru при переходе через точку хо меняет знак с плюса на минус, то точка хо является точкой максимума;

2. если производная I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru при переходе через точку хо меняет знак с минуса на плюс, то точка хо является точкой минимума.

Критерий нахождения точек экстремума функции удобно представляется в виде схемы:

хо – критическая точка: f`(xо)=0 или f`(xо) не существует
хо – точка минимума   I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru хо I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru
хо
I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru

хо – точка максимума   I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru хо
хо
I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru

Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов функции используется следующий алгоритм:

1. Найдите область определения функции.

2. Найдите первую производную функции.

3. Определите критические точки первого рода (f'(xo)=0 или f'(xo) не существует).

4. На числовой оси отметьте критические точки и определите знаки производной на каждом из получившихся интервалов.

5. Найдите интервалы монотонности, выпишите точки экстремума функции (если они есть), используя соответствующие критерии, вычислите значения функции в точках экстремума.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции: I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru .

3. Определим критические точки первого рода (у'=0): I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru =0;

х1=1 или х2=5.

4. На числовой оси отметим критические точки х1=1 и х2=5. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;1), (1;5); (5;+∞). Расставим знаки производной функции у' = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru на каждом из полученных интервалов:

при х=0 I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru (-∞;1) у'(0)=5>0;

при х=2 I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru (1;5) у'(2)= I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru =-3<0;

при х=6 I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru (5;+∞) у'(6)= I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru =5>0.

т.min
т.max
I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru

5. Согласно критерию возрастания и убывания функция I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru возрастает при х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru (-∞;1] I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [5;+∞), убывает при х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [1;5].

Согласно критерию нахождения точек экстремума х=1 – точка максимума, х=5 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках: I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru - максимум функции;

I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru - минимум функции.

Ответ: I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru возрастает при х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru (-∞;1] I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [5;+∞), убывает при х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [1;5];

х=1 – точка максимума; I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru ;

х=5 – точка минимума; I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru .

Пример 2. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru .

Решение. 1. Данная функция определена на множестве R.

2. Найдем первую производную функции по правилу производной произведения:

I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru

3. Определим критические точки первого рода (у' =0): I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru =0;

х1=0 или 2+х=0 I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ruх≠0 для всех х из множества R).

4. На числовой оси отметим критические точки х=-2 и х=0. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала (-∞;-2), (-2;0); (0;+∞). Расставим знаки производной функции у'= I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru на каждом из полученных интервалов:

т.min
т.max
I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru

5. Согласно критерию возрастания и убывания функция I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru возрастает при

х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru (-∞;-2] I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [0;+∞), убывает при х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [-2;0].

Согласно критерию нахождения точек экстремума х=-2 – точка максимума, х=0 – точка минимума. Для нахождения экстремумов вычислим значения функции в этих точках: I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru - максимум функции;

I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru - минимум функции.

Ответ: I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru возрастает при х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru (-∞;-2] I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [0;+∞), убывает при х I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru [-2;0];

х=-2 – точка максимума; I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru ;

х=5 – точка минимума; I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru = I. признаки возрастания и убывания функции - student2.ru .

Список литературы:

1. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 7, § 38-39, стр. 220-226.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений СПО / В.П.Григорьев, Ю.А.Дубинский - М.: Издательский центр "Академия", 2004. – 320с. – Глава 6, §6.3, стр. 126 – 127; §6.7, стр. 138 – 141.

3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §7, стр. 255– 265.

Наши рекомендации