Определение и геометрический смысл производной

Глава 4. Производная

Определение и геометрический смысл производной

Пусть функция непрерывна в точке .

Определение. Производной от функции в точке называется величина

.

Дадим некоторые расшифровки этого важнейшего понятия математического анализа.

а) Вспоминая определение предела, можно записать определение через кванторы .

б) Величина называется приращением аргумента, а величина приращением функции. Тогда

.

в) Обозначая , можно записать

.

Понятие производной впервые появилось в физике в связи с понятием скорости. Пусть некоторая материальная точка движется по оси так что есть координата точки в момент времени . Спустя время координата точки будет , т.е. за время точка пройдет путь . Поэтому средняя скорость точки за интервал времени будет равна . Чтобы найти мгновенную скорость точки в момент времени надо устремить к нулю, то есть

.

Таким образом, производная от координаты точки определяет ее мгновенную скорость. Поэтому и производную функции в некоторой точке можно трактовать как скорость изменения функции в этой точке.

Дадим еще геометрический смысл производной. В определение производной входят две операции: деление и предельный переход при . Что же это дает? Нанося на график точки с координатами ( , ) и ( , ) мы получим фигуру изображенную на рисунке. Проведем через эти точки линию, которая называется секущей. Тогда дробь есть не что иное как , где есть угол наклона секущей к оси OX.

Но в определении производной есть еще предельный переход при . Что же дает этот предельный переход?.

При точка M начинает двигаться к точке M₀. При этом вся секущая будет поворачиваться около точки M₀ и в пределе она превратиться в касательную к точке M₀. Угол при этом перейдет в угол , который эта касательная образует с осью х. Поэтому можно утверждать, что

,

где - угол, образованный касательной к кривой в точке и осью OX.

Алгебра производных

Выведем важнейшие формулы, касающиеся вычисления производных. В дальнейшем и - некоторые функции, у которых существуют и , а с - некоторая константа (число).

1. .

Доказательство.

.

2. .

Доказательство

Аналогично выводится формула для .

3. .

Доказательство

(В числителе дроби прибавим и вычтем комбинацию )

4. .

Доказательство

(прибавляем и вычитаем в числителе комбинацию )

5. .

В выражении подразумевается, что производная от функции берется так, как будто является единым целым (аргументом).

Доказательство

Пусть аргумент получил приращение . Тогда функция получила приращение так что . Поэтому

(делим и умножаем дробь на )

.

6.

Доказательство

Пусть так что . Если аргументу x дать приращение , то величина получит приращение . Поэтому

=

Однако в данной формуле есть одна неувязка. Слева стоит функция от , а справа получилась функция от . Чтобы устранить это несоответствие надо в правой части заменить на . Тогда получим окончательно

.

7.

Вывод этой формулы следует разбирать после прочтения следующего параграфа.

Доказательство

Обозначим . Тогда . Вычисляя производную от обеих частей этого равенства, получим

.

Отсюда

.

Вместо того чтобы запоминать эту формулу лучше запомнить правило: для того чтобы вычислить производную от , надо это выражение сначала прологарифмировать.

Все эти формулы сведены в следующую таблицу, которую следует запомнить (кроме последней формулы).

Таблица 1.

Функция	Производная

Таблица производных

Выведем теперь таблицу производных от элементарных функций

1.

Действительно, если , то

.

2.

Имеем

(вынесем вверху за скобки)

(Сделаем «замену переменных» . Тогда и )

,

где был использован замечательный предел.

Рекомендуется запомнить некоторые частные случаи этой формулы

а)

б)

3.

Имеем

,

где был использован замечательный предел

Особенно простой результат получается при

4.

сделаем «замену переменных» . Тогда и

Особенно простой результат получается при

5.

Имеем

.

где также был использован замечательный предел.

6. .

7. .

Так как , то

.

8. .

Вывод аналогичен

9.

В данном случае и , то есть . Поэтому

.

10.

Вывод аналогичен.

11. .

В данном случае и , то есть . Поэтому

.

12. .

Вывод аналогичен.

13.

Действительно

.

14. 15. .

Вывод аналогичен

Все эти формулы сведены в таблицу, которую следует заучить

Таблица 2

функция	производная	функция	производная
1.		7.
2.		8.
		9.
		10.	-
3.		11.
		12.
4.		13.
		14.
5.		15.
6.

Особые случаи

То, что в точке функция непрерывна не означает, разумеется, что в этой точке у нее обязательно существует производная. Функция может быть непрерывной, а производной может и не существовать. Что же там может быть?

Односторонние производные

Назовем

производной от функции в точке слева, а

производной в той же точке справа. Разумеется, если , то это означает, что в точке существует . Но могут быть случаи, когда и существуют, но не равны друг другу. В этом случае не существует и . График функции имеет в точке в этом случае «излом», и в этой точке к графику можно провести две касательные (см. рисунок).

Бесконечная производная

Рассмотрим функцию определенную для и потребуем найти . Имеем и производная равна . Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.

Несуществование производной

Наконец, может быть ситуация, когда , фигурирующий в определении производной, не существует.

Рассмотрим для примера, . Так как , то . Поэтому, полагая , получим

,

и этот предел просто не существует.

Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому опреде­ленному положению. В математике построены даже примеры функций, которые являются непрерыв­ными, но ни в одной точке не имеют производной.

Теорема Ферма

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке и в некоторой внутренней точке этого промежутка достигает своего наибольшего или наименьшего значения. Если в этой точке существует производная, то она равна нулю: .

Доказательство

Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего значения.

По условию теоремы эта точка внутренняя, то есть , и поэтому к этой точке можно подойти и слева и справа.

Пусть мы подходим к слева. Тогда

(так как - наибольшее значение);

;

(так как мы подходим слева);

;

.

Делая предельный переход , получим

.

Пусть мы подходим к точке справа. Тогда

(так как - наибольшее значение);

;

(так как мы подходим слева);

;

.

Делая предельный переход , получим

.

Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . <

Геометрический смысл доказанной теоремы ясен из рисунка: в точке наиболь­шего или наименьшего значения функции касательная к графику функции параллельна оси OX.

Существенность ограничений

В теореме Ферма по сути дела два ограничения: а) точка расположена внутри отрезка и б) . Покажем, что оба ограничения являются существенными, то есть отказ от любого из них приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

а) «внутренность» точки .

Если максимум или минимум функции достигается на границе отрезка, то, как видно из рисунка, утверждение теоремы Ферма неверно. При доказательстве это проявляется в том, что мы сможем подойти к точке только с одной стороны, и поэтому не получится второго, противоположного неравенства.

б) существование производной.

Пусть в точке существуют только односторонние производные. Тогда, как это видно из рисунка, теорема Ферма неверна. При доказательстве это проявиться в том, что получаться неравенства и , которые нельзя будет объединить в одно равенство, так как теперь .

Теорема Ролля

Пусть функция

а) определена и непрерывна на ;

б) ;

в)

Тогда существует точка в которой .

Доказательство этой теоремы следует из такой логической цепочки рассуждений:

1. Так как определена и непрерывна на , то, по первой теореме Вейерштрасса, она ограничена на , то есть существуют конечные и .

2. Если , то есть константа, то есть и поэтому . В качестве точки можно взять любую точку из .

3. Если , то, в силу условия и второй теоремы Вейерштрасса, хотя бы одно из значений или достигается во внутренней точке промежутка (см. рисунок). По теореме Ферма, в этой точке (их может быть и несколько) производная равна нулю. <

Внутри промежутка достигается sup	Внутри промежутка достигается inf

Внутри промежутка достигаются и sup и inf.

Формулы Коши и Лагранжа

Теорема. Пусть функции и

а) определены и непрерывны на ;

б) и ;

в) .

Тогда существует точка такая, что

.

Эта формула носит название формулы Коши.

Доказательство. Прежде всего отметим, что , иначе, по теореме Ролля, существовала бы точка , где , что противоречит ограничению «в».

Рассмотрим функцию

.

Она

а) определена и непрерывна на , так как и функции и непрерывны на ;

б)

.

в) .

Таким образом, для выполнены все условия теоремы Ролля. Поэтому такая, что

,

но тогда в этой точке

,

что и дает формулу Коши. <

Формула Лагранжа

Рассмотри частный случай, когда . Тогда формула Коши приобретает вид

,

или

,

где . Эта формула и называется формулой Лагранжа. В дальнейшем мы будем на нее часто ссылаться.

Заметим, что точка не обязательно единственная: может быть несколько точек , удовлетворяющих формулам Коши или Лагранжа.

Рассмотрим еще вопрос о геометрическом смысле формулы Лагранжа. Пусть мы имеем график . Проведем через точки и секущую. Она образует с осью OX угол и, как видно из рисунка, . Но есть тангенс угла, который касательная к кривой в точке образует с осью OX. Поэтому формулу Лагранжа можно трак­товать так: существует точка ,

в которой касательная параллельна секущей, соединяющей точки и .

Дифференциал

Рассмотрим важное для дальнейшего понятие дифференциала.

Напомним, что величина называется приращением функции.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

.

Определение 2. Линейная часть приращения функции, то есть называется дифференциалом функции и обозначается

.

Чтобы точно уяснить эти определения функции рассмотрим пример. Пусть . Тогда

Заметим, что содержит слагаемое, линейное по , слагаемые с и . Так вот, только слагаемое, линейное по дает дифференциал, то есть

.

Выражение для дифференциала

Итак, мы получили, что для дифференцируемой функции . Это означает, что

.

Но если взять , то мы получим, что , то есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно

Отсюда следует, что

то есть производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Заметьте, что есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.

Правила дифференцирования

Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.

1. .

Действительно

.

2.

Имеем

.

3. .

Имеем

.

4. .

Имеем

.

5. .

Имеем

.

В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций, заданных параметрически.

Параметрическое задание функции заключается в том, что и и задаются как функции некоторого параметра , то есть

, .

Значение параметра определяет одновременно и и , и, тем самым, некоторую точку на плоскости. Меняя , мы двигаем точку на плоскости, и она описывает некоторую кривую, определяющую зависимость от . Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости.

Имеем

,

.

Отсюда производная от по имеет вид

.

Сокращая на получим окончательно

.

Формула Тейлора.

Свойства остаточного члена.

Напишем в явном виде

= .

Полагая , получим

Далее, находя производные и полагая , получим

= ,

,

= ,

,

= ,

.

Таким образом, остаточный член в формуле Тейлора обладает следующим основным свойством