Определение производной и ее геометрический смысл.

1. n_cp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0

2. p_cp.=Dm/Dl, p_T=lim(Dm/Dl), где Dl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x², Dy=(x+Dx)²-x²=x²+2xDx+Dx²-x²=Dx(2x-Dx),

(x²)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

Логарифмическое дифференцирование. Вывод производной степенной ф-ции.

y=a^x - показательная ф-ция, y=xⁿ - степенная, y=x^x - показательно-степенная.

y=[f(x)]^j(x) - показательно-степенная ф-ция.

lny=xlnx - найдем производную от левой и правой части, считая у ф-цией х.

(1/y)*y`=(lny)

(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1

y`=y*(lnx+1)=x^x(lnx+1)

Операция, которая заключается в последовательном применении к ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование, а затем дифференцирование.

Степенная ф-ция:

1.y=xⁿ, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)^-1

y`=y*n*(x^-1)=n*xⁿ*x^-1=n*x^n-1

2.y=e^U, где U=sinx

U`=cosx, y`=(e^U)`=e<sup>U</sup>*U`=e^sinx*cosx.

Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину Dx

Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx, d(U±V)=d(U±V)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

Уравнение касательной и нормали к кривой.Правила диффиринцирования

Основные правила дифференцирования.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Касательная

Если в качестве M взять кривую, а в качестве m прямую, проходящую через точку O кривой, то при условие соприкосновения определяет касательную к кривой в точке O (рис. 1). Касательная в точке P кривой также может быть определена как предельное положение секущей, проходящей через P и близкую к ней точку P₁, когда P₁ стремится к P.

Гладкая регулярная кривая в каждой точке имеет определённую касательную. Направление касательной в точке t₀ кривой, задаваемой уравнениями (1), совпадает с направлением вектора . В векторной записи это производная .

В дифференциальной геометрии выводятся уравнения касательной для различных способов аналитического задания кривой. В частности, для кривой, задаваемой уравнениями (1), уравнения касательной в точке, отвечающей значению параметра t₀, будут

,

где индекс указывает на значение функций и их производных в точке .

Для плоской кривой уравнение касательной в точке имеет следующий вид.

§ Параметрическое задание:

§ Явное задание:

§ Неявное задание:

Диффиринциал функции