Доказательство ограниченности последовательности.

Итак, пусть . Зафиксируем . Тогда

.

Рассмотрим

,

.

Тогда очевидно, что и последовательность ограниченна.

2. Выделение сходящейся подпоследовательности

Ссылаясь на лемму Больцано-Вейерштрасса выделим из нашей последовательности подпоследовательность которая сходится к конечному пределу .

3. Доказательство того, что вся последовательность сходится к тому же пределу

Так как , то .

По условию леммы .

Возьмем . Тогда , взяв произвольное , получим

,

что и говорит о том, что . <

Признак Больцано-Коши имеет более теоретическое, чем практическое значение. Однако на его основе строится целый ряд рабочих признаков сходимости для целого ряда математических объектов.

2.10 Функция и способы ее задания

Пусть имеются две вещественные оси и . Пусть на оси выбрано некоторое множество . Правило, которое каждому значению ставит в соответствие некоторое число , называется функцией одной переменной и обозначается .

Множество , где такое определение имеет смысл, называется областью определения функции. Однако, при доказательстве различных теорем в качестве множества мы будем брать только какую-то часть области определения. Эту часть мы будем называть областью задания функции.

Способы задания функции.

1. Аналитический способ.

В этом случае функция задается в виде одной или нескольких формул, описывающих правило, устанавливающее соответствие . Например

,

2. Графический способ.

В этом случае оси и располагаются перпендикулярно друг другу так, что они образуют декартову систему координат. Соответствие для каждого определяет некоторую точку на плоскости . Совокупность этих точек образует некоторую кривую на плоскости , которая называется графиком функции. Если нарисован график функции, то тем самым задано и правило, определяющее соответствие .

3. Табличный способ.

x y … …

В этом случае функция задается в виде таблицы, в одном из столбцов которой пере­числены значения аргумента , а в другом указаны соответствующие значения . Конечно, в одной таблице перечислить все значения аргумента невозможно, но какое-то представление о виде соответствия такая таблица обычно дает.

4. Алгоритмический способ.

В этом случае соответствие задается в виде некоторого алгоритма, позволяющего находить по .

Например:

а) выписать в виде бесконечной десятичной дроби. Например ;

б) выписать без изменения знак и те цифры которые стоят до запятой;

в) после запятой выписать первую, третью, пятую и так далее, т.е. вообще цифры с нечетными порядковыми номерами.

Это и определит значение . Вряд ли это правило может быть легко записано в виде формул.

2.11 Предел функции.

Определение. Число b называется пределом или предельным значением функции при стремящимся к (обозначение: , ) если

.

Это понятие предела также связано с идеей движения. В этом случае движение отражается в том, что при изменении аргумента x изменяется значение функции. Понятие предела возникает при определенном типе такого движения - когда аргумент приближается к a, то значения функции приближается к b.

Приведем без комментариев некоторые варианты этого определения

а) это значит, что

;

б) это значит, что

;

в) это значит, что

;

г) это значит, что

;

д) это значит, что

.

Вариантом этого определения являются так называемые односторонние пределы.

Определение. Число b называется пределом или предельным значением при справа (обозначение ) если

.

Число b называется пределом или предельным значением при слева (обозначение ) если

.

Напишите сами определение и .