Глава 6. Пределы и непрерывность

Краткая теория

1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу п поставлено в соответствие определенное число а_п, то говорят, что задана числовая последовательность {а_п}.

2. Число А называется пределом числовой последовательности {а_п}, если для любого e > 0 найдется такой номер N, зависящий от e, что для всех членов последовательности с номерами п > N верно неравенство .

3. Число А называется пределом функции у = f(х) при х ® ¥, если для любого

e > 0 найдется также число S > 0, зависящее от e, что для всех х таких, что |х| > S будет верно неравенство .

4. Число А называется пределом функции f(х) при х ® x₀ , если для любого e > 0 найдется число d > 0, зависящее от e, что для все х ≠ x₀ и удовлетворяющих условию

|x – x₀| < d выполняется неравенство

5. Функция a(х) называется бесконечно малой величиной при х ® x₀ (или

х ® ¥), если

6. Функция f(x) называется бесконечно большой величиной при х ® x₀ , если для любого М > 0 найдется такое число d > 0, зависящее от М, что для всех х ≠ x₀ и удовлетворяющих условию |x – x₀| < d будет верно неравенство

7. Свойства бесконечно малых. Если a(х) и b(х) — бесконечно малые величины при х ® x₀ (или х ® ¥), то будут бесконечно малыми величины: a(х) ± b(х); с × a(х),
с – постоянная; f(x)× a(х) (f(x) – ограниченная функция); a(х) × b(х);

8. Свойства бесконечно больших. Если f(x) и j(х) – бесконечно большие величины при х ® x₀ (или х ® ¥), то будут бесконечно большими величинами: f(x) + j(х) (j(х) — ограниченная функция); f(x)/j(х) (j(х) имеет предел).

9. Если функция a(х) есть бесконечно малая величина при х ® x₀ (или х ® ¥), то функция является бесконечно большой, и обратно, если f(x) бесконечно большая функция при х ® x₀ (х ® ¥) , то является бесконечно малой величиной.

10. Сравнение порядков бесконечно малых. Если a(х) и b(х) — бесконечно малые величины при х ® x₀ (х ® ¥) и то при k = 0 бесконечно малая a(х) называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем b(х); при 0 < k < ¥ — одного порядка малости; при k = ¥ — более низкого порядка малости, чем b(х).

Если k = 1, то бесконечно малые a(х) и b(х) называются эквивалентными: a(х) ~b(х).

11. Примеры эквивалентных бесконечно малых величин при х ® 0: sin x ~ x; ln(1+x) ~ x; (1 + x) ^m ~ 1+ mx; arcsin x ~ x; arctg x ~ x; 1 – cos x ~ x²/2.

12. Предел отношения двух бесконечно малых величин не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.

13. Теоремы о пределах:

1) .

2) Если

то:

14. Если , , то .

15. Первый замечательный предел:

16. Второй замечательный предел (число е):

6.1. Определение предела. Простейшие пределы

Для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение.

6.4. Найти

Решение. Подставляем вместо х в выражение под знаком предела 3, получим

.

6.5. Найти .

Решение. Знаменатель дроби х³ при х ® ¥ является бесконечно большой величиной, при х ® ¥ является бесконечно малой величиной, следовательно, искомый предел равен нулю.

6.6. Найти

Решение. Знаменатель дроби (х — 4) при х ® 4 является бесконечно малой величиной, тогда 1/(х – 4) – бесконечно большая величина; числитель дроби 2х² является функцией, предел которой отличен от нуля

Функция 2х²/(х – 4) является бесконечно большой величиной, т.е. искомый предел равен ¥.

6.2. Раскрытие неопределенностей различных типов

Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов

Устранить неопределенность удается часто с помощью алгебраических преобразований.

6.12. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида [¥ – ¥]. Вынесем за скобку х в наибольшей степени:

х⁴ является бесконечно большой величиной при х ® ¥. По теоремам о пределах

так как и при х ® ¥ являются бесконечно малыми величинами, а предел постоянной равен самой постоянной (единице). По свойству бесконечно больших является бесконечно большой величиной, т.е. искомый предел равен ¥.

Ответ данной задачи и приведенные в решении выкладки будем использовать при решении следующих примеров как заранее известные факты. Рассмотрим несколько типов примеров, классифицируя их по виду неопределенности и предельному значению х.

1-й тип. Рассмотрим примеры вида с неопределенностью вида , где f(x) и j(х) в общем случае – сложные степенные или показательные функции. В случае степенных функций необходимо выносить за скобку в числителе и знаменателе дроби х с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; в случае показательных функций за скобку выносится наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби. После сокращения дроби неопределенность устраняется.

6.13. Найти

Решение. Вынося за скобку и в числителе и в знаменателе х в наибольшей степени, получим

так как , , , – величины бесконечно малые при х ® ¥.

6.17.Найти

Решение. При показательная функция , при стремится к . Быстрее будет возрастать та функция, у которой основание больше, поэтому в нашем случае выносим за скобки :

так как при и при .

Найти пределы:

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22.

6.23.

6.24.

6.25.

6.26.

2-й тип.Рассмотрим примеры вида с неопределенностью вида В этом случае необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель дроби или домножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби.

6.45. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида Разложим числитель и знаменатель дроби на множители: числитель – по формуле сокращенного умножения а знаменатель – по формуле разложения квадратного трехчлена на множители при

где

Получим

После сокращения дроби следует подставить предельное значение х в сокращенную дробь. Получим

6.46. Найти

Решение. 1-й способ. Имеем неопределенность вида Дополним числитель до разности квадратов а знаменатель до разности кубов Получим

2-й способ. Сделаем замену переменной: тогда а при т.е. Теперь

Найти пределы:

6.47.

6.48.

6.49.

6.50.

6.51.

6.52.

6.53.

6.54.

6.55.

6.56.

6.57.

6.58.

3-й тип.Рассмотрим примеры с неопределенностью вида [∞ – ∞]. Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если упомянутая функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к 1-му типу путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.

6.68. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида [∞ – ∞]. Приведем дроби к общему знаменателю:

Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители числитель дроби. Получим

6.69. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида [∞ – ∞]. Домножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела на сопряженное выражение, приводящее к разности квадратов:

Имеем предел 1-го типа.

При по определению модуля; поэтому

так как при - бесконечно малые величины.

Найти пределы:

6.70.

6.71.

6.72.

6.73.

6.74.

6.75.

6.76.

6.77.

6.78.

6.79.

6.80.

6.81.

6.82.

6.83.

6.84.

6.85.

6.86.

6.87.

6.3. Замечательные пределы

К пределам 4-го типа отнесем примеры с неопределенностью вида . В этом случае выражение, стоящее под знаком предела, представляет собой степенно-показательную функцию, в основании которой необходимо выделить целую часть дроби (которая должна быть равна 1). Неопределенность устраняется при помощи выделения «второго замечательного предела» .

6.97. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида , так как

Выделим целую часть дроби

является бесконечно малой величиной при х → ∞. Домножим показатель степени на это действие не нарушает знака равенства:

ибо Найдем Имеем неопределенность вида предел 1-го типа. Вынесем за скобки х², так как вторая степень наибольшая:

так как Таким образом предел равен

6.99. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида преобразуем ее в неопределенность вида , пользуясь свойствами логарифмов:

Получим

Учитывая непрерывность логарифмической функции, символы lim и ln можно переставить , получим

так как по формуле

Найти пределы:

6.100.

6.101.

6.102.

6.103.

6.104.

6.105.

6.106.

6.107.

6.108.

5-й тип. К этому типу отнесем функции, сводящиеся к первому замечательному пределу (6.1):

6.121. Найти

Решение.

Первый сомножитель представляет собой первый замечательный предел и равен 1, второй сомножитель представляет предел, равный . Таким образом, искомый предел равен 1×1 = 1.

6.122. Найти

Решение. Имеем неопределенность вида Сделаем замену переменной:

arcsin х = у; тогда х = sin у; при х → 0, у →0; получим

Имеем первый замечательный предел, следовательно искомый предел равен 1, что и требовалось доказать.

Найти пределы:

6.124.

6.125.

6.126.

6.127.

6.128.

6.129.

6.130.

6.131.

6.132.

6.133.

6.134.

6.135.

He рассмотренные в этой главе неопределенности видов [0×¥], [0°] и [¥°] могут быть устранены при помощи правила Лопиталя, которое будет рассмотрено в главе 8.

6.5. Непрерывность функции и точки разрыва.

Краткая теория

1. Функция называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) определена в точке x₀; 2) имеет конечный предел при х→ x_0;

3) этот предел равен значению функции в этой точке: (6.1)

(первое определение).

2.Функция называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: (6.2)

(второе определение).

3.Если функции и непрерывны в точке, то их сумма, произведение и частное (при условии, что знаменатель отличен от нуля) являются функциями, непрерывными в этой точке.

4. Если функция у = непрерывна в точке u₀ = , а функция u= непрерывна в точке x₀, то сложная функция у = непрерывна в точке x₀.

5. Функция называется непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

6. Если не выполнено определение непрерывности (6.1) или (6.2), то функция в точке x₀ терпит разрыв, причем:

а) если хотя бы один из односторонних пределов или

бесконечен, то x₀ - точка разрыва второго рода;

б) если оба односторонних предела и конечны, но не равны между собой, то x₀ — точка неустранимого разрыва первого рода;

в) если оба односторонних предела и конечны, равны между собой, но не равны , то x₀ — точка устранимого разрыва первого рода.

6.168.Исследовать на непрерывность функции у = в точке х = 1. В случае разрыва установить его характер в точке х = 1:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: а) При х = 1 функция не определена, следовательно, функция в точке

х = 1 терпит разрыв (рис. 6.1): , т.е. конечный предел существует; следовательно, х = 1 — точка устранимого разрыва первого рода. (Доопределив функцию в точке х = 1, т.е. положив = 0, получим, что новая функция

будет уже непрерывна в точке х = 1 .)

6) При x = 1 функция не определена, следовательно, функция в точке x = 1 терпит разрыв (рис. 6.2):

Так как односторонние пределы (достаточно было бы одного) бесконечны, то х = 1 – точка разрыва функции второго рода.

в) При х = 1 функция определена, (x-1) = 0, (x-1) = 0,у (1) = 1 - 1 = 0, т.е. у(х)= у(х) = у(1) = 0, следовательно, функция в точке х = 1 непрерывна

(рис. 6.3).

г) При х = 1 функция определена, у(1)=0,

у(х)= (х+1)=2, у(х)= (х-1)=0,

имеем у(х) ≠ у(х), таким образом, в точке х = 1 функция терпит неустранимый разрыв первого рода (рис. 6.4.)

Глава 7. Производная

7.1. Определение производной

Краткая теория

1. Производной функции называется конечный предел приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует):

. (7.1)

Если функция в точке (или на промежутке ) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке ).

2. Если функция дифференцируема в точке , (или на промежутке ), то она в этой точке непрерывна (или на промежутке ). Если функция непрерывна в данной точке, то она обязательно дифференцируема в данной точке.

1.Используя определение производной, найти производную функции .

Решение. Придавая аргументу приращение , найдем соответствующее приращение функции:

.

Составим отношение:

.

Найдем предел этого отношения при :

(ибо в силу (6.1) первый предел равен 1).

Таким образом: .

2. Доказать, что функция непрерывна, но не дифференцируема в точке .

Решение.Функция:

1) определена на всей числовой оси, в том числе в точке ;

2) существует конечный предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Таким образом, согласно определению (6.4) непрерывности функции в точке, функция непрерывна при .

Производная функции

,

т.е. функция не является дифференцируемой при .

Используя определение производной, найти производные функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

Доказать, что функции непрерывны и дифференцируемы при :

7. , .

8. , .

Доказать, что функции являются непрерывными, но не дифференцируемы при :

9. , .

10. , .

7.2 Правила дифференцирования. Производные элементарных функций.

Краткая теория