Характеристический полином замкнутой СУ Алгебраические критерии устойчивости

Достаточное условие устойчивости: для устойчивости СУ необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического полинома принадлежали левой полуплоскости плоскости корней.

Для СУ, построенных по принципу обратной связи, устойчивость определяет характеристический полином замкнутой СУ. Если модель типовой СУ задана структурной схемой, то по ПФ звеньев прямого канала легко определяется оператор W_Р(s).

С учетом обозначений W_Р(s) = B_Р(s) /A_Р(s), характеристический полином A(s) замкнутой системы определяется выражением:

. (5)

Таким образом, характеристический полином замкнутой системы равен сумме полиномов знаменателя и числителя ПФ разомкнутой системы.

Принадлежность корней характеристического полинома левой части комплексной плоскости можно определить непосредственным вычислением

корней. Также могут быть использованы критерии устойчивости.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют установить факт принадлежности корней полинома левой полуплоскости по соотношениям коэффициентов aiполинома .

Необходимым (но не достаточным) условием устойчивости является

требование, чтобы все коэффициенты ai, i = 0,…, n, были одного знака (например, положительные). Если хотя бы один коэффициент полинома имеет противоположный знак относительно других коэффициентов, то это уже является достаточным условием принадлежности одного или нескольких корней правой полуплоскости.

Для полинома первого порядка A₁(s)=a₁s+a₀приведенное условие устойчивости является не только необходимым, но и достаточным, так как единственный действительный корень s₁= - a₀/a₁.

Для полинома второго порядка A₂(s)=a₂s2+a₁s+a₀приведенное условие устойчивости также является не только необходимым, но и достаточным, что следует из анализа формулы решения квадратного уравнения:

. (6)

Для полиномов выше второго порядка это необходимое условие уже не является достаточным.

Здесь ограничимся рассмотрением критерия устойчивости для полинома 3-го порядка – “критерий Гурвица”.

Для полинома A3(s) = a₃s³+a₂s²+a₁s +a₀имеют место следующие соотношения, получаемые из сравнения произведений “средних” коэффициентов a₂a₁и “крайних” коэффициентов a₃a₀.

При a₂a₁> a₃a₀ все три корня – левые (система устойчива);

при a₂a₁< a₃a₀ пара комплексно-сопряженных корней – правые

(система неустойчива);

при a₂a₁= a₃a₀ пара сопряженных корней – чисто мнимые, то есть корни располагаются на оси мнимых (система находится на колебательной границе устойчивости).

Проведем анализ устойчивости следующей СУ:

Рис. 3.

В общем виде оператор WР(s) записан в выражении . Приведем его к одной дробно-рациональной функции

. (7)

Запишем теперь в общем виде характеристический полином замкнутой СУ

(8)

В результате имеем

a₃= T₁T₂, a₂= T₁+T₂, a₁= 1, a₀= K. (9)

Определим устойчивость этой СУ при K =10, T₁= T₂= 1 с. При таких значениях параметров имеем a₂a₁< a₃a₀– система неустойчива.

Проанализируем влияние на устойчивость рассматриваемой СУ усиления в контуре. Зафиксируем значения постоянных времени и будем варьировать параметр K.Из (9) видно, что этот параметр входит только в младший коэффициент характеристического полинома (a₀= K). При достаточном уменьшении коэффициента усиления неравенство a₂a₁< a₃a₀поменяет знак: a₂a₁> a₃a₀.

Коэффициент усиления контура обратной связи, при котором система оказывается на границе устойчивости, называется критическимкоэффициентом усиления. Для данной СУ, с учетом (9), получим

. (10)

Для установленных параметров (T₁= T₂= 1 с) получаем K_кр= 2.

Для всех K< K_кримеем устойчивую СУ.

На рис. 4 изображены переходные процессы в рассматриваемой системе при различных коэффициентах усиления.

Рис. 4.

На рис. 4,а приведен процесс при K = 0.5, K_кр= 1, на рис. 4,б приведен процесс при K = K_кр= 2, и на рис. 4,в - процесс при K = 1.5, K_кр= 3.