Алгебраические критерии устойчивости

Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = aopn + a1pn-1 + a2pn-2 + ... + an = ao(p-p1)(p-p2)...(p-pn) = 0,

где p1, p2, ..., pn - корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать какai = -|ai| < 0. Подставим их в уравнение:

a0 Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru (p + |a1|) Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru (p + |a2| - j Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 2) Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru (p + |a2| + j Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 2) Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru ... = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a0 Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru (p + |a1|) Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru ((p + |a2|)2 + ( Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 2)2) Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru ... = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a0 Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru pn + a1 Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru pn-1 + a2 Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru pn-2 + ... + an = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a0,a1,...,an не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a0 > 0, a1 > 0, ... , an > 0. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a0 > 0. В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке - с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: ck,i = ck+ 1,i - 2 - ri Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru ck + 1,i - 1, гдеri = c1,i - 2/c1,i - 1, i Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 3 - номер строки, k - номер столбца.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Ri i\k
- c11 = a0 c21 = a2 c31 = a4 ...
- c12 = a1 c22 = a3 c32 = a5 ...
r3 = c11/cc12 c13 = c21-r3c22 c23 = c31-r3c32 c33 = c41-r3c42 ...
r3 = c11/c12 c14 = c22-r3c23 c24 = c32-r4c33 c34 = c42-r4c43 ...
... ... ... ... ... ...

Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса c11, c12, c13,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.

Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, на сколько далеко отстоит она от границы устойчивости.

Критерий Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a1 до an;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики: a0p + a1 = 0. Определитель Гурвица: Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru = Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 1 = a1 > 0 при a0 > 0, то есть условиие устойчивости:a0 > 0, a1 > 0;

2)n = 2 => уравнение динамики: a0p2 + a1p + a2 = 0. Определители Гурвица: Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 1 = a1 > 0, D2 = a1a2 - a0a3 = a1a2 > 0, так как a3 = 0, то есть условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0;

3) n = 3 => уравнение динамики: a0p3 + a1p2 + a2p + a3 = 0. Определители Гурвица: Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 1 = a1 > 0, Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 2 = a1a2 - a0a3 > 0, Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 3 = a3 Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 2 > 0, условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, a3 > 0, a1a2 - a0a3 > 0;

Таким образом при n Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ. Его часто используют для определения влияния одного из параметров САУ на ее устойчивость. Так равенство нулю главного определителя Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru n = an Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru n-1 = 0 говорит о том, что система находится на границе устойчивости. При этом либо an = 0 - при выполнении остальных условий система находится на границе апериодической устойчивости, либо предпоследний минор Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru n-1 = 0 - при положительности всех остальных миноров система находится на границе колебательной устойчивости. Параметры САУ определяют значения коэффициентов уравнения динамики, следовательно изменение любого параметра Ki влияет на значение определителя Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru n-1. Исследуя это влияние можно найти, при каком значении Ki определитель Алгебраические критерии устойчивости - student2.ru n-1 станет равен нулю, а потом - отрицательным (рис.67). Это и будет предельное значение исследуемого параметра, после которого система становится неустойчивой.

Вопросы

  1. Что понимают под устойчивостью САУ в малом и в большом?
  2. Какой вид имеет решение уравнения динамики САУ?
  3. Как найти вынужденную составляющую решения уравнения динамики САУ?
  4. Какой вид имеет свободная составляющая решения уравнения динамики САУ?
  5. Что такое характеристическое уравнение?
  6. Какой вид имеют корни характеристического уравнения?
  7. Чем отличаются правые и левые корни характеристического уравнения?
  8. Сформулируйте условие устойчивости систем по Ляпунову.
  9. Что такое граница устойчивости?
  10. Что такое критерии устойчивости?
  11. Сформулируйте необходимое условие устойчивости САУ.
  12. Сформулируйте критерий Рауса.
  13. Сформулируйте критерий Гурвица.
  14. В чем достоинства и недостатки алгебраических критериев устойчивости?

Наши рекомендации