Матрицы, операции над ними, обратная матрица. Определители и их свойства.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, заключенная в круглых скобках.

ОПЕРАЦИИ:

Обратная матрица:

Матрица называется обратной матрицей А, если = = Е

Теорема:

Для того чтобы матрица А, имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невыраженной

Матрица называется невыраженной, определитель А не равен нулю и выражен, если определитель А = 0

Необходимо!!!

Достаточно!!!

Определители:

В каждой матрице ставится в соответствии число, называемое определителем.

Определитель –Это число, соответствующее квадратной матрице.

Обозначения:

Свойства определителей:

2)Если у матрицы поменять местами 2-е строки(2-а столбца), то ее определитель сменит знак:

Следствие 1: Если у матрицы 2-е строки (столбца) одинаковые, то определитель этой матрицы равен нулю.

3)Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

Следствие 2: Если у матрицы 2-е строки(столбца) пропорциональны, то определитель этой матрицы равен нулю.

Следствие 3: Если у матрицы есть нулевая строка(столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

4)

5)Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки(столбца), умноженные на некоторое одно и тоже число:

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю.

Билет 20

Элементарные преобразования, ранг матрицы, теорема Кронекера-Копелли.

Элементарные преобразования матриц:

1)Перестановка строк.

2)Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля.

3)Прибавление к одной строке другой строки, умноженное на какое-либо число.

4)Те же операции над столбцами.

И в результате всех этих преобразований, получаем матрицу, эквивалентную данной.

Ранг матрицы

Пусть в матрице А размерности m x n выбраны k строк и k столбцов, k<=m и n. Определитель матрицы, элементы которой стоят на пересечении строк и столбцов называется минором порядка k матрицы А.

Пусть все миноры матрицы А порядков, больших r, равны нулю, и при этом существует отличный от нуля минор порядка r. Число r называется рангом матрицыА. Обозначается: rangA(r,rgA) = r. Другими словами рангом матрицыА называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы А. Этот минор называется базисным минором.

Способ вычисления ранга:

Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Тогда число ненулевых строк является рангом:

Пример:

Теорема Кронекера-Копелли.

Для того чтобы система

Была совместна, необходимо и достаточно, чтобы

Пусть система совместна и - ранг системы, n-число неизвестных, m-число уравнений.

1)Пусть r<m. Будем считать без ограничения общности, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы А, то есть первые r строк и первые r столбцов матрицы линейно независимы. Тогда последние m-r уравнений можно отбросить, так как они линейно выражаются через первые r. Таким образом переходим к системе следующего вида, в котором число уравнений совпадает с рангом системы:

2)Если r=n, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, с помощью формул Крамера.

3)Пусть r<n (считаем, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы А).

Назовем неизвестные

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получаем определенную систему относительно базисных переменных. Принимая свободные неизвестные за параметры, можно выразить базисные переменные через свободные, то есть получить общее решение системы:

Билет 21

Метод Гаусса - универсальный способ решения линейных уравнений. Определяется принадлежность тому или иному классу (совместность, определённость). Состоит из трёх этапов1)(подготовительный)Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду. 2)В ходе исследования требуется выяснить :а)совместна ли система(равен ли ранг матрицы системы рангу расширенной матрицы.), б)чему равен ранг, в)какие переменные выбрать за базисные, кол-во переменных =r, но не любые могут быть базисными, а только те у которых соответствующие им столбцы ступенчатого вида не входят в базисный минор этой матрицы Рассмотрим выступающие части «ступенек». Теперь в каждой такой части выберем нулевой элемент, который с гарантией, что он существует. Эти столбцы и соответствуют переменным, которые мы выберем за базисные. Остальные переменные свободные. 3) «обратный ход». Выражаем все базисные переменные через свободные

Для этого мы должны преобразовать расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями строк к такому виду, в котором каждый столбец, соответствующий базисной переменной, содержит только один ненулевой элемент (который мы вы­деляли на предыдущем этапе), причём этот элемент равен 1. Это преоб­разование соответствует исключению базисных переменных из "верхних уравнений". Третий этап носит название "обратный ход", потому что тре­буемые преобразования удобно проводить "снизу вверх": сначала исклю­чить последнюю базисную переменную из всех строк, кроме последней ненулевой, потом перейти к следующей снизу, и т.д. Проведя все необходимые преобразования, запишем систему линейных уравнений, соот­ветствующую полученной .расширенной матрице. Заметим, что эта си­стема эквивалентна' исходной, и в каждое уравнение входит ровно одна базисная переменная, причём с коэффициентом 1, что очень облегчает выражение базисных переменных через свободные.

Заметим, что последний этап можно также проводить и не в матрич­ном виде, а непосредственно преобразуя систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатому виду расширенной матрицы системы. Обратите внимание, что в последнее уравнение этой системы входит только одна базисная переменная и её легко выразить через свободные. Это выражение подставим в предпоследнее уравнение и из него выразим следующую базисную переменную, и так далее, снизу вверх. В результа­те этих выражений также получим требуемое общее решение системы.

Билет 22