Определители и их свойства. Обратная матрица

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы

называется число, обозначаемое символически

.

Число есть порядок определителя.

Определитель 2-го порядка вычисляется по правилу

.

Пример. .

Определители 3-го и более высокого порядка вычисляются на основе их разложения по строке или столбцу на определители более низкого порядка при использовании общих свойств определителей.

Свойства определителей:

1) Величина определителя не меняется при замене строк столбцами и столбцов строками с теми же номерами;

2) Перестановка двух каких-либо строк (столбцов) равносильна умножению определителя на – 1;

3) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

Пример. , т. к. элементы 3-го столбца пропорциональны соответствующим элементам 2-го с коэффициентом пропорциональности – 3.

4) Если элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, то он равен нулю.

Пример. .

5) Общий множитель всех элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя.

Пример. .

6) Если элементы некоторого столбца (или строки) есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых элементы рассматриваемого столбца (строки) равны соответствующим слагаемым.

Пример. .

7) Если ко всем элементам какого-либо столбца (строки) прибавить слагаемые, пропорциональные соответствующим элементам другого столбца (строки), то величина определителя не изменится.

Пример. (к элементам 1-го столбца прибавлены соответствующие элементы 2-го, умноженные на 2.

Минор элемента в определителе -го порядка есть определитель ( )-го порядка, получающийся из данного определителя, если из него вычеркнуть -ю строку и -й столбец.

Пример. Для определителя минор элемента есть , а элемента — .

Алгебраическое дополнение элемента есть

= ,

т. е. равно минору этого элемента, взятому со знаком «+», если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых он стоит, есть четное число, и знаком «–», если число нечетное.

Пример. Для определителя алгебраическое дополнение элемента есть , а элемента — .

Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Вычисление определителя на основе теоремы о разложении облегчается, если выбирается стока (или столбец), содержащие нули. Используя свойство 7), можно преобразовать данный определитель так, чтобы все элементы (кроме одного) какой-либо строки (или столбца) стали нулями. Разлагая затем определитель по этой строке (столбцу), сразу уменьшаем его порядок на единицу.

Пример. Вычислить определитель .

◄ Разлагаем определитель по 3-му столбцу (через чередование знаков, начиная с верхнего левого элемента, верхними правыми индексами проставлены знаки алгебраических дополнений для элементов этого столбца): .

Разлагая данный определитель по второй строке, получаем тот же результат:

= . ►

Обратная матрица

Квадратная матрица называется невырожденной, если она имеет (необходимо единственную) обратную матрицу , определяемую условиями

.

В противном случае матрица – вырожденная.

Квадратная матрица =( ) порядка является невырожденной в том и только в том случае, если ее определитель ; в этом случае обратная матрица есть квадратная матрица того же порядка :

, (1.1.1)

где – алгебраические дополнения элементов в определителе .

Квадратная матрица не вырождена в том и только том случае, если ее строки (столбцы) линейно независимы. Строки (столбцы) матрицы линейно независимы, если ни одна строка (столбец) не могут быть выражены в виде линейной комбинации остальных строк (столбцов). В противном случае строки (столбцы) линейно зависимы.

Если матрицы и не вырождены и число , то

, , .

Пример. Дана матрица . Найти обратную матрицу .

◄ Находим определитель матрицы . Т. к. , делаем вывод, что матрица не вырождена и, следовательно, имеет обратную матрицу. Находим алгебраические дополнения для элементов матрицы:

, , ,

, , ,

, , .

Следовательно, по формуле (1.1.1)

.

Проводим проверку полученного результата:

. Делаем вывод, что результат правильный. ►