Модуль 1: Линейные пространства, теория линейных операторов

Лекции

Лекции 1-2 – Предварительные сведения.Множества и отображения. Отношения эквивалентности, факторизация множеств и отображений. Отношения порядка, упорядоченные множества. Понятие числового поля. Основные свойства многочленов над полями вещественных и комплексных чисел.

ОЛ1: Гл. 1, §§5-6. Гл. 5, §1, ДЛ8: Гл. 2, §§1-2.

Лекции 3-4 – Линейные пространства.Определение и основные свойства линейных пространств. Линейная зависимость элементов линейного пространства. Базис и координаты в линейном пространстве, преобразование координат при преобразовании базиса. Размерность линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств. Подпространства, сумма и пересечение подпространств. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Линейные оболочки систем векторов. Нахождение базиса и размерности суммы и пересечения подпространств, заданных как линейные оболочки некоторых систем векторов. Факторпространства линейных пространств.

ОЛ2: Гл. 1, §§1-2, ОЛ3: Гл. 2.

Лекции 5-6 – Линейные операторы.Определение и основные свойства линейных операторов. Ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора. Основные неравенства для ранга и дефекта линейного оператора. Матричная запись линейных операторов. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе от одного базиса к другому.

ОЛ2: Гл. 2, §§1-2, ОЛ3: Гл. 5, §§1-3.

Лекция 7 – Линейные функционалы и билинейные формы.Линейные функционалы, полуторалинейные и билинейные функции в линейных пространствах, их матричное представление и основные свойства.

ОЛ2: Гл. 2, §§1-2, ОЛ3: Гл. 5, §§1-3.

Лекции 8-9 – Двойственное пространство. Двойственное пространство и его свойство. Теорема о существовании двойственного базиса. Примеры. Теорема о существовании канонического изоморфизма X→X^**. Критерии линейной независимости. Сопряженный оператор и его свойства.

ОЛ2: Гл. 1, §3.

Лекции 10-12 – Теория линейных операторов. Инвариантные подпространства линейных операторов. Минимальный и характеристический многочлены линейного оператора, их свойства. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов, их свойства. Существование инвариантных подпространств у линейных операторов в вещественном и комплексном пространствах. Теорема Гамильтона-Кэли. Циклические векторы линейных операторов.

ОЛ2: Гл. 2, §§2-3.

Лекции 13-14 – Канонический вид линейных операторов.Собственные и присоединенные векторы, собственные и корневые инвариантные подпространства линейных операторов, их свойства. Теорема о приведении оператора к жордановой нормальной форме. Структура матрицы жордановой нормальной формы линейного оператора.

ОЛ2: Гл. 2, §4, ОЛ3: Гл. 5, §8.

Упражнения

Занятия 1-2. Матричные вычисления. Комплексные числа. Свойства отображений.

Ауд.: ОЛ4: 7.1(а,б), 8.1 (а,б), 8.4 (а,б), 9.2 (а,и), Вычислить определитель Вандермонда, 11.10(а), 18.11(а), 2.1, 2.5, 20.1(а, ж), 20.4(а), 20.8, 21.1(д,к), 21.4(а), 21.8, 21.11(а,б).

Дома: ОЛ4: 7.1(в,г), 8.1(в,г), 8.1(в,г), 9.2 (б,к), 11.10(б,в), 18.11(б), 2.6, 2.7, 20.1(б,з), 20.4(д), 20.10, 21.1(а,п), 21.4, 21.11(в,г), 22.2, 22.4, 22.5, 22.7(з,о).

Занятие 3. Линейные пространства.

Ауд.: ОЛ4: 34.2(а), 34.3(б,г), 34.4(б), 34.11(а), 34.12, 34.13(а), 34.14(а,б).

Дома: ОЛ4: 34.2(б), 34.3(а,в,ж), 34.4(а,в), 34.11(б), 34.13(б,в), 34.14(в,г).

Занятие 4. Линейные пространства.

Ауд.: ОЛ4: 35.1(г,д,ж), 35.3(а,б,д), 35.6(б,в), 35.11(а), 35.12(а,б), 35.13(а,б), 35.14(а,б).

Дома: ОЛ4: 35.1(а,и,к), 35.3(в,г,е), 35.6(а,г), 35.11(б), 35.12(в), 35.13(в,г), 35.14(б).

Занятие 5. Линейные пространства.

Ауд.: ОЛ4: 35.16(а), 35.18, 35.21, 35.22.

Дома: ОЛ4: 35.16(б), 35.17, 35.19, 35.21, 35.23.

Занятия 6-7. Линейные операторы. Матрица линейного оператора

Ауд.: ОЛ4: 39.1(чет.), 39.3, 39.5(чет.), 39.6, 39.10(а), 39.15(чет.), 39.17, 39.20, 39.23(а).

Дома: ОЛ4: 39.1(неч.), 39.2, 39.5(неч.), 39.10(б), 39.15(неч.), 39.18, 39.21, 39.22, 39.23(б).

Занятие 8. Двойственное пространство. Сопряженный оператор

Ауд.: ОЛ4: 36.9(а,б), Аналог задачи 3 ДЗ№1, 43.14(а).

Дома: ОЛ4: 36.9(в), 36.10, 43.14(б).

Занятия 9-10. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Ауд.: ОЛ4: 40.1(неч.), 40.2, 40.6, 40.7, 40.8(а), 40.9, 40.15(чет.).

Дома: ОЛ4: 40.1(чет.), 40.4, 40.5, 40.8(б), 40.10, 40.15(неч.).

Занятие 11. Инвариантные и корневые подпространства линейных операторов.

Ауд.: ОЛ4: 40.16(1,3), 40.19, 40.20, 40.22, 40.24, 40.31(а), 40.35(а,б).

Дома: ОЛ4: 40.16(2,4), 40.17, 40.21, 40.25, 40.30, 40.31(б), 40.35(в,г).

Занятия 12-13. Жорданова форма и ее приложения.

Ауд.: ОЛ4: 41.1(неч.), 41.3, 41.5, 41.6, 41.10(а,б), 41.16, 41.17, 41.19.

Дома: ОЛ4: 41.1(чет.), 41.2, 41.4, 41.10(в,г), 41.20, 41.22.

Занятие 14. Контроль по модулю 1.

Модуль 2: Евклидовы и эрмитовы пространства, тензоры

Лекции

Лекции 1-2 – Евклидовы и эрмитовы пространства.Определение и основные свойства скалярного произведения и вещественного евклидова пространства. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства и его свойства. Матрица Грама и ее свойства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. QR-разложение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Изоморфизм конечномерных евклидовых пространств. Эрмитовы пространства и их основные свойства. Неравенство Коши-Буняковского в вещественном и комплексном случаях. Теоремы об общем виде линейного функционала и полуторалинейной функции в эрмитовом пространстве. Норма линейного оператора и ее свойства.

ОЛ2: Гл. 3, §§1-2, ОЛ3: Гл. 4.

Лекции 3-4 – Линейные операторы в эрмитовых и эвклидовых пространствах.Самосопряженные операторы. Матрица самосопряженного оператора. Необходимые и достаточные условия самосопряженности. Свойства собственных чисел и собственных векторов самосопряженных операторов.Спектральное разложение самосопряженных операторов. Положительные операторы. Корни k-ой степени из операторов. Эрмитовы формы и их основные свойства. Билинейные формы и самосопряженные операторы в евклидовых пространствах.

ОЛ2: Гл. 1, §4, Гл. 3, §3, ОЛ3: Гл. 5, §§4-6.

Лекция 5 – Нормальные, унитарные и ортогональные операторы.Нормальные операторы и их свойства. Критерии нормальности. Спектральное разложение нормальных операторов. Унитарные и ортогональные операторы, их свойства. Комплексификация вещественных евклидовых пространств и линейных операторов. Канонический вид ортогональных операторов.

ОЛ2: Гл. 2, §4, ОЛ3: Гл. 5, §§7-8.

Лекции 6-7 – Квадратичные формы в евклидовых пространствах.Квадратичные формы. Теоремы о приведении квадратичной формы и пары квадратичных форм к сумме квадратов. Методы Лагранжа и Якоби приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Закон инерции квадратичных форм. Индексы инерции квадратичных форм, классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

ОЛ2: Гл. 1, §4, ОЛ3: Гл. 7, §§1-6.

Лекции 8-9 – Уравнения гиперповерхностей второго порядка и их аффинная классификация.Общее уравнение гиперповерхности второго порядка. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при аффинных преобразованиях. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка. Центр гиперповерхности второго порядка. Классификация уравнений центральных и нецентральных гиперповерхностей второго порядка.

ОЛ3: Гл. 7, §7.

Лекция 10-11 – Тензоры. Основы тензорного исчисления (понятие о тензорах, операции над тензорами, произведение тензоров, координаты тензора, тензоры в разных системах координат, тензорное произведение пространств). Свёртка, симметризация и альтернирование тензоров. Симметричные и кососимметричные тензоры.

ОЛ2: Гл. 6, §§1-2.

Упражнения

Занятие 1-2. Евклидовы и эрмитовы пространства.

Ауд.: ОЛ5: 25.2(чет.), 25.4, 25.10, 25.26(1,4), 25.29, 26.5, 26.9, 26.28(чет.), 26.35.

Дома: ОЛ5: 25.2(неч.), 25.3, 25.5, 25.26(2,3), 25.32, 26.4, 26.12, 26.28(неч.), 26.36.

Занятие 3. Евклидовы и эрмитовы пространства.

Ауд.: ОЛ4: 43.4(а,б), 43.7(а,б), 43.16(а), 43.18(а), 43.22, 43.24.

Дома: ОЛ4: 43.4(в,г), 43.7(в,г), 43.16(б,в), 43.18(б,в), 43.23, 43.25, 43.29, 43.31, 43.35.

Занятия 4-5. Самосопряженные операторы.

Ауд.: ОЛ4: 44.1 (г,д,е), 44.2, 44.4, 44.6, 44.9 (а,в).

Дома: ОЛ4: 44.1 (а,б,в), 44.3, 44.5, 44.7, 44.11.

Занятие 6. Нормальные и ортогональные операторы.

Ауд.: ОЛ4: 44.24, 44.27, 45.2, 45.4(б,д), 45.11, 46.3, 46.10(а,б).

Дома: ОЛ4: 44.25, 44.26, 45.3, 45.4(в,г), 45.10, 45.12, 46.4, 46.10(в,г).

Занятие 7-8. Билинейные и квадратичные формы.

Ауд.: ОЛ5: 32.1(3,7), 32.5, 32.7(1,3), 32.8(4,6), 32.36(6,14), 32.38, ОЛ5: 32.13(1,3,4), 32.15, 32.17, 32.18(1,3), 32.21, 52.20(а), .52.21(м), 52.22(у).

Дома: ОЛ5: 32.1(4,5,6), 32.6, 32.7(5,6,7), 32.8(12,14), 32.36(8,11), 32.37, ОЛ5: 32.13(2,5,6), 32.16, 32.18(2,4,5), 32.22, 52.20(б), 52.21(н), 52.22(ф).

Занятие 9-10. Тензоры

Ауд.: ОЛ4: §§47-48 (четные).

Дома: ОЛ4: §§47-48 (нечетные).

Занятие 11. Контроль по модулю 2.

Самостоятельная подготовка

Самостоятельная работа студента заключается в проработке рекомендованной литературы, материала лекций, выполнении домашних заданий и в подготовке к контрольным работам.