Линейные соотношения в линейных электрических цепях
При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением
 , | (8) |
где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.
Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС 
в k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать
 | (9) |
и для тока в n – й ветви –
 . | (10) |
Здесь 
и 
- составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме .
Умножив левую и правую части (10) на 
, вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим
 . | (11) |
Обозначив в (11) 
и 
, приходим к соотношению (8).
Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.
В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами 
и 
в схеме с переменным резистором на рис. 5, где 
; 
; 
.
Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям 
.
Выбрав в качестве этих значений 
и 
, для первого случая ( 
) запишем
.
Таким образом, 
.
При (режим короткого замыкания)
,
откуда
.
На основании (8)
.
Таким образом,
.
Принцип компенсации
Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.
Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением 
, по которой протекает ток 
, а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).
При включении в ветвь с двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с 
(рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи
 . | (12) |
Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.
В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током можно заменить источником тока 
.
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Каплянский А.Е.и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.
Контрольные вопросы и задачи
- Для каких цепей применим принцип суперпозиции?
- В каких случаях эффективно применение метода наложения?
- Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей?
- Докажите теорему взаимности.
- Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи?
- Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь?
- Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а.
Ответ: 
, где 
; 
.
- В цепи на рис. 2
. Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения.
Ответ: 
; 
.
Лекция N 13