Линейные соотношения в линейных электрических цепях
При изменении в линейной электрической цепи ЭДС (тока) одного из источников или сопротивления в какой-то ветви токи в любой паре ветвей m и n будут связаны между собой соотношением
 , | (8) |
где А и В – некоторые в общем случае комплексные константы.
Действительно, в соответствии с (1) при изменении ЭДС 
в k – й ветви для тока в m – й ветви можно записать
 | (9) |
и для тока в n – й ветви –
 . | (10) |
Здесь 
и 
- составляющие токов соответственно в m – й и n – й ветвях, обусловленные всеми остальными источниками, кроме .
Умножив левую и правую части (10) на 
, вычтем полученное соотношением из уравнения (9). В результате получим
 . | (11) |
Обозначив в (11) 
и 
, приходим к соотношению (8).
Отметим, что в соответствии с законом Ома из уравнения (8) вытекает аналогичное соотношение для напряжений в линейной цепи.
В качестве примера найдем аналитическую зависимость между токами 
и 
в схеме с переменным резистором на рис. 5, где 
; 
; 
.
Коэффициенты А и В можно рассчитать, рассмотрев любые два режима работы цепи, соответствующие двум произвольным значениям 
.
Выбрав в качестве этих значений 
и 
, для первого случая ( 
) запишем
.
Таким образом, 
.
При (режим короткого замыкания)
,
откуда
.
На основании (8)
.
Таким образом,
.
Принцип компенсации
Принцип компенсации основан на теореме о компенсации, которая гласит: в любой электрической цепи без изменения токов в ее ветвях сопротивление в произвольной ветви можно заменить источником с ЭДС, численно равной падению напряжения на этом сопротивлении и действующей навстречу току в этой ветви.
Для доказательства теоремы выделим из схемы произвольную ветвь с сопротивлением 
, по которой протекает ток 
, а всю остальную часть схемы условно обозначим некоторым активным двухполюсником А (см. рис. 6,а).
При включении в ветвь с двух одинаковых и действующих навстречу друг другу источников ЭДС с 
(рис. 6,б) режим работы цепи не изменится. Для этой цепи
 . | (12) |
Равенство (12) позволяет гальванически соединить точки а и c, то есть перейти к цепи на рис. 6,в. Таким образом, теорема доказана.
В заключение следует отметить, что аналогично для упрощения расчетов любую ветвь с известным током можно заменить источником тока 
.
Литература
- Основытеории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
- Бессонов Л.А.Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
- Каплянский А.Е.и др. Теоретические основы электротехники. Изд. 2-е. Учеб. пособие для электротехнических и энергетических специальностей вузов. –М.: Высш. шк., 1972. –448 с.
Контрольные вопросы и задачи
- Для каких цепей применим принцип суперпозиции?
- В каких случаях эффективно применение метода наложения?
- Как определяются входные и взаимные проводимости ветвей?
- Докажите теорему взаимности.
- Какими линейными соотношениями связаны токи и напряжения в ветвях линейной цепи?
- Можно ли распространить принцип компенсации на нелинейную электрическую цепь?
- Определить методом наложения ток в первой ветви цепи на рис. 1,а.
Ответ: 
, где 
; 
.
- В цепи на рис. 2
. Определить токи в остальных ветвях схемы, воспользовавшись линейным соотношением, принципом компенсации и методом наложения.
Ответ: 
; 
.
Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви в то время, как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны. Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится. Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1.  Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение  . Если теперь между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС  с направлением, указанным на рис. 1,в , то, как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в сделать эквивалентной цепи на рис. 1,а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще один источник ЭДС  , компенсирующий действие первого (рис. 1,г). Будем теперь искать ток по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана. Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода.  Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2,б. Отсюда ток находится, как:
где Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора. Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями. В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа: 1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви. 2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока. Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис. 3,б
В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах
В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного двухполюсника для нахождения значения
Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. 6.
Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:
Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно записать
Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на рис.7. В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления
В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами
В соответствии с (1) для тока
откуда для модуля этого тока имеем
Анализ полученного выражения (3) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность будут максимальны, если Таким образом,
Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме согласованной нагрузки, условие которого Таким образом, искомые значения Теорема вариаций Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы изменилось сопротивление. Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с токами
Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на Для этой цепи можно записать
откуда
Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви. Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ:
Ответ: | ||||
| Лекция N 14. Пассивные четырехполюсники. |
, 
- напряжение на разомкнутых зажимах a-b.
на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно 
. Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью амперметра, который показывает ток 
(см. рис. 2,б). Тогда на основании результатов измерений 
.
и 
.
.
. Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.
на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС 
.
.
. 
в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет равна.
Параметры цепи: 
.
. (3)
; откуда 
, причем знак “-” показывает, что нагрузка 
и 
.
.
.
и 
, а остальную часть схемы обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости 
и 
известны.
. В результате этого токи в ветвях схемы будут соответственно равны 
и 
(рис. 9,б). На основании принципа компенсации заменим 
. Тогда в соответствии с принципом наложения можно считать, что приращения токов 
и 
вызваны 
в схеме на рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П.
и 
.
.
. 
. При анализе электрических цепей в задачах исследования взаимосвязи между переменными (токами, напряжениями, мощностями и т.п.) двух каких-то ветвей схемы широко используется теория четырехполюсников.Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов (отсюда и произошло его название), обычно называемые входными и выходными. Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов. В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные,в структуру которых входят источники энергии, и пассивные, ветви которых не содержат источников энергии. Ниже будут рассмотрены элементы теории пассивных четырехполюсников. Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением  (см. рис. 1,а).  В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением  (см. рис. 1,б). Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. 1,б можно записать
Решая полученные уравнения (1) и (2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим
или
где Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности
Таблица 1. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника
Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным.Как видно из сравнения А- и В- форм в табл. 1, это выполняется при Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными. При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соотношением (5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и четвертый. Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных зажимов. В этом случае при
При
и при
Решение уравнений (6)-(8) относительно коэффициентов четырехполюсника дает:
При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде трехэлементной эквивалентной Т- (рис. 3,а) или П-образной(рис. 3,б) схемы замещения. Для определения коэффициентов четырехполюсника для схемы на рис. 3,а с использованием первого и второго законов Кирхгофа выразим
Сопоставление полученных выражений (9) и (10) с соотношениями (3) и (4) дает:
Данная задача может быть решена и другим путем. При
но из схемы на рис. 3,а
откуда вытекает: При
Из схемы на рис. 3,а
Следовательно, Таким образом, получены те же самые результаты, что и в первом случае. Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. 3,б могут быть определены аналогично или на основании полученных для цепи на рис. 3,а с использованием рассмотренных ранее формул преобразования “ звезда-треугольник”. Из вышесказанного можно сделать вывод, что зная коэффициенты четырехполюсника, всегда можно найти параметры Т- и П-образных схем его замещения. На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, т.е. чтобы определить коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так при переходе от А- к Z-форме на основании (4) имеем
Подстановка соотношения (11) в (3) дает
Сопоставляя выражения (11) и (12) с уравнениями четырехполюсника в Z-форме (см. табл. 1), получим
При анализе работы четырехполюсника на нагрузку
Зная Характеристическое сопротивление и коэффициент В электросвязи широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному, т.е.
Это сопротивление обозначают как
называется режимом согласованной нагрузки. В указанном режиме для симметричного четырехполюсника
Разделив соотношение (13) на (14), получаем уравнение
решением которого является
С учетом (15) уравнения (13) и (14) приобретают вид
Таким образом,
где Одному неперу соответствует затухание по напряжению или току в е=2,718… раз, а по мощности, поскольку для рассматриваемого случая Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента распространения. По определению
Тогда
Решая (17) и (18) относительно
Учитывая, что
и
получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции:
Литература
Контрольные вопросы и задачи
Ответ:
Определить параметры Т-образной схемы замещения. Ответ:
Определить, при каком сопротивлении нагрузки входное сопротивление четырехполюсника будет равно нагрузочному сопротивлению. Ответ: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Лекция N 15. Электрические фильтры. |
; 
. 
;
; 
, 
; 
; 
; 
- коэффициенты четырехполюсника.
, видно, что коэффициенты четырехполюсника связаны между собой соотношением
. 
Уравнения (3) и (4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника; их также называют уравнениями четырехполюсника в А-форме (см. табл. 1). Вообще говоря, существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника. Действительно, четырехполюсник характеризуется двумя напряжениями 
и 
и двумя токами 
и 
. Любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2. Отметим, что выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи.
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
. 
; 
; 
; 
. 
.
на основании уравнений (3) и (4)
. 
. 
; 
. 
и 
;
, а 
;
и 
.
(короткое замыкание на вторичных зажимах)
и 
.
;
.
.
. 
. 
.
и коэффициента передачи 
.Учитывая, что 
и 
, для этих параметров можно записать:
, 
; 
; 
.
.
и называют характеристическим сопротивлениемсимметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо
,
на основании (3) и (4) можно записать
; 
. 
,
. 
;
.
,
- коэффициент распространения; 
- коэффициент затухания(измеряется в неперах); 
- коэффициент фазы(измеряется в радианах).
в е2 раз.
. 
. 
и 
, получим
и 
.
,
; 
; 
; 
.
; 
; 
; 
; 
.
; 
. Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым затуханием) пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим затуханием) токов других частот. Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием), называется полосой пропусканияили полосой прозрачности;диапазон частот, пропускаемых с большим затуханием, называется полосой затуханияили полосой задерживания.Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем сильнее возрастает затухание в полосе задерживания. В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных RC-фильтров, используемых при больших сопротивлениях нагрузки. Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, так и в силовой электронике и электротехнике. Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, т.е. элементов соответственно с нулевыми активными сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных сопротивлений (  ), а емкостные проводимости конденсаторов много больше их активных проводимостей (  ). Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами – резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной Т- или П-образной схеме, т.е. при  или  (см. лекцию №14). В этой связи при изучении фильтров будем использовать введенные в предыдущей лекции понятия коэффициентов затухания и фазы. Классификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в табл. 1. Таблица 1. Классификация фильтров
|