Модуль 2. Дифференциальные уравнения
5. Рубежный контроль № 2 «дифференциальные уравнения», практика. Срок: 16 неделя.
6. Рубежный контроль № 2 «дифференциальные уравнения», теория. Срок: 17 неделя.
Литература
Основная литература (ОЛ).
1. Зарубин В.С., Иванова Е.Е., Кувыркин Г.Н. Интегральное исчисление функций одного переменного: Учеб. для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 506 с. (Сер. Математика в техническом университете. Вып. VI).
2. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1. — М.: Интеграл-Пресс, 2010, – 416 с..
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Том 2. Дифференциальное и интегральное исчисление.– М.: Дрофа, 2007, – 512
4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 2. — М.: Интеграл-Пресс, 2010, – 544 с.
5. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Дрофа, 2005, – 288 с.
6. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б. П. Демидовича.—М.: Астрель, 2010. – 496 с..
7. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. А.В.Ефимова и Б. П. Демидовича. Т. 1.—М.: Астрель, 2005.
Методические и учебные пособия (МП)
1. Ахметова Ф. Х., Добрица Б. Т., Сырцов А. В. Неопределенный интеграл: метод. указания к практическим занятиям. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. – 48 с.
2. Копаев А.В., Маркелов Г.Е., Тесалина А.А. Определенный интеграл. Методические указания к выполнению домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ, 2002.-69 с.
3. Белов В. Н., Косова А. В., Чуев В. Ю. Определенный интеграл: метод. указания к выполнению типового расчета. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2009. – 45 с.
4. Дуров В. В., Неклюдов А. В. Метод дифференциалов в приложениях определенного интеграла: метод. указания к практическим занятиям. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1993. – 50 с.
5. Галкин С.В. Интегральное исчисление и дифференциальные уравнения. – М.: Изд-во МГТУ, 2007. – 160 с.
6. Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка. -М.: Изд-во МГТУ, 2001.-37 с
7. Пелевина И.Н. Раров Н.Н., Филиновский А.В. Дифференциальные уравнения высших порядков. Методические .указания к выполнению домашнего задания. – М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана,2001. – 38с.
Электронные ресурсы (ЭР)
1. Соболев С.К. Дифференциальные уравнения. Методические указания к решению задач. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008 (Электронное издание).– 25 с. http://hoster.bmstu.ru/~fn1/?page_id=30.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Дисциплина состоит из 2-х учебных модулей и экзамена.
Модуль 1
| Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы | Сроки проведения или выполнения,недели | Трудоёмкость,часы | Примечание |
| Лекции | 1-8 | ||
| Упражнения | 1-9 | ||
| Домашние задания текущие | 1-9 | ||
| Контроль по модулю №1 |
Модуль 2
| Виды аудиторных занятий и самостоятельной работы | Сроки проведения или выполнения,недели | Трудоёмкость,часы | Примечание |
| Лекции | 9-17 | ||
| Упражнения | 10-17 | ||
| Домашние задания текущие | 10-17 | ||
| Контроль по модулю №2 |
Модуль 1:Линейная алгебра
Лекции
Лекция 1.Аксиомы и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Критерий линейной зависимости, его следствия. Определение базиса и размерности линейного пространства. Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в базисе. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
ОЛ-1, гл. 1, § 1.1–1.8; ОЛ-Ошибка! Неизвестный аргумент ключа., гл. 2, § 1, 2, 4.
Лекция 2.Подпространства линейного пространства. Ранг системы векторов, связь с рангом матрицы. Линейная оболочка. Примеры. Евклидово пространство, аксиомы и примеры. Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского и неравенство треугольника. Ортогональность векторов. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства. Вычисление скалярного произведения и нормы вектора в ортонормированном базисе.
ОЛ-1, гл. 2, § 2.1, 2.4–2.6, гл. 3, § 3.1–3.7; ОЛ-3, гл. 2, § 3, гл. 4, § 1, 2.
Лекция 3.Теорема о существовании ортонормированного базиса и процесс ортогонализации Грама - Шмидта (без док-ва). Линейные операторы и их матрицы (определение, примеры). Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ее определителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
ОЛ-1, гл. 3, § 3.8, гл. 4 § 4.1–4.5; ОЛ-3, гл. 5, §1, 2.
Лекция 4.Характеристический многочлен линейного оператора, его независимость от базиса. След матрицы линейного оператора и его инвариантность. Характеристический многочлен и собственные значения матрицы. Свойство множества собственных векторов, отвечающих одному и тому же собственному значению. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения, связь между ними (без док-ва). Теорема о линейной независимости собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Существование базиса из собственных векторов в случае действительных и некратных корней характеристического уравнения. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов.
ОЛ-1, гл. 5 § 5.1–5.5, гл. 6, § 6.1, 6.2; ОЛ-3, гл. 5, § 3.
Лекции5-6. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Сопряженный и самосопряженный операторы, их матрицы в ортонормированном базисе. Свойства корней характеристического многочлена самосопряженного оператора: вещественность и равенство алгебраических и геометрических кратностей (без док-ва). Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих различным собственным значениям. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора (док-во для случая различных собственных значений). Ортогональные преобразования, ортогональные матрицы и их свойства. Диагонализация симметрической матрицы ортогональным преобразованием.
ОЛ-1, гл. 6, § 6.3; ОЛ-3, гл. 5.
Лекция 7. Квадратичные формы. Координатная и матричная формы записи. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Ранг квадратичной формы, его независимость от выбора базиса. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (без док-ва). Канонический вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Закон инерции квадратичных форм (без док-ва).
ОЛ-1, гл. 8, § 8.1–8.3, 8.6; ОЛ-3, гл. 5, § 6.
Лекция 8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования.
ОЛ-1, гл. 8, § 8.4, 8.5; гл. 9, § 9.1–9.3; ОЛ-3, гл. 5, § 6.
Упражнения
Занятие 1.Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису.
Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.1–4.9 (неч.), 4.15, 4.17, 4.21, 4.24, 4.28, 4.30, 4.37 или
ДЛ-3, гл. 3: 7–17 (неч.), 21–25 (неч.), 29–33 (неч.), 40, 53–57(неч.), 63.
Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.2–4.10 (четн.), 4.16, 4.18, 4.19, 4.25, 4.31 или
ДЛ-3, гл. 3: 8–14 (четн.), 22–26 (четн.), 30–34 (четн.), 42, 54–58 (четн.), 64.
Занятие 2.Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства.
Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.45–4.53 (неч.) или
ДЛ-3, гл. 3: 73–77 (неч.), 87–91 (неч.), 95–99 (неч.).
Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.46, 4.48, 4.52, 4.54 или
ДЛ-3, гл. 3: 74–78 (четн.), 88–92 (четн.), 96–100 (четн.), гл. 4: 6–12 (четн.), 32, 38.
Занятие 3. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.
Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.63 (а), 4.64 (а), 4.65 (а,б), 4.67–4.76 (неч.), или
ДЛ-3, гл. 4: 5–12 (неч.), 17– 24 (неч.), 31, 37, 39, 47, 49, 53, 57, 59.
Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.63 (б), 4.64 (б), 4.65 (в), 4.67–4.76 (четн.) или
ДЛ-3, гл. 4: 5–12 (четн.) 17–24 (четн.), 32, 38, 48, 50, 54, 58, 60.
Занятие 4.Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами.
Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.83 – 4.99 (неч.), 4.103, 4.106 (б), 4.107, 4.110, 4.113 или
ДЛ-3, гл. 5: 1, 5, 7, 21, 23, 25, 32 (а), 33 (а), 44, 45 (а), 47, 49, 51 (а, б), 71.
Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.84, 4.86, 4.90 – 4.100 (четн.), 4.102, 4.104, 4.108, 4.110(б), 4.118 или
ДЛ-3, гл. 5: 6, 8, 22, 24, 32 (6), 33 (б), 43, 45 (б), 48, 51 (в, г), 72.
Занятие 5.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализация симметричных матриц ортогональным преобразованием.
Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.129, 4.131, 4.135–4.143 (неч.), 4.174, 4.183, 4.191 или
ДЛ-3, гл. 5: 75–80 (неч.). 89–100 (неч.), 155–162 (неч.).
Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.130, 4.132, 4.134–4.142 (четн.), 4.176, 4.184, 4.186 или
ДЛ-3, гл. 5: 75–80 (четн). 89–100 (четн.), 156–162 (четн.).
Занятие 6.Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.
Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.218–4.225 (четн.) или
ДЛ-3, гл. 6: 13, 15, 43, 45.
Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.218–4.233 (неч.) или
ДЛ-3, гл. 6: 14, 16, 44, 46.
Занятия 7-8.Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.
Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.210, 4.211, 4.213, 4.215, 4.226, 4.228, 4.231 или
ДЛ-3, гл. 6: 19, 21, 23 (б), 29, 31, 35, 47, 49, 55.
Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.212, 4.214, 4.216, 4.227, 4.229, 4.230 или
ДЛ-3, гл. 6: 20, 22, 23 (а), 30, 32, 36, 48, 50, 56.
Занятие 9.Контроль по модулю 1 (РК №1).