Производная функции, заданной параметрически

Пусть

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

т.к. Ф(х) – обратная функция, то

Окончательно получаем:

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

Пример. Найти производную функции

Способ 1: Выразим одну переменную через другую , тогда

Способ 2: Применим параметрическое задание данной кривой: .

x² = a²cos²t;

Пример: Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-¥; ¥).

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1;

с осью Ох: y = 0; x = 1;

4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b;

Итого: у = -х – наклонная асимптота.

5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума.

. Видно, что у¢< 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции.

y¢¢ = 0 при х =0 и y¢¢ = ¥ при х = 1.

Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y¢¢(1-h) < 0; y¢¢(1+h) >0; y¢¢(-h) > 0; y¢¢(h) < 0 для любого h > 0.

6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0.

2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности.

3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x =

с осью Оу: x = 0; y – не существует.

4. Точка х = 0 является точкой разрыва , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b.

Наклонная асимптота у = х.

5. Находим точки экстремума функции.

; y¢ = 0 при х = 2, у¢ = ¥ при х = 0.

y¢ > 0 при х Î (-¥, 0) – функция возрастает,

y¢ < 0 при х Î (0, 2) – функция убывает,

у¢ > 0 при х Î (2, ¥) – функция возрастает.

Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума.

Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную.

> 0 при любом х ¹ 0, следовательно, функция, вогнутая на всей области определения.

6. Построим график функции.

Пример: Исследовать функцию и построить ее график.

1. Областью определения данной функции является промежуток х Î (-¥, ¥).

2. В смысле четности и нечетности функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат: с осью Оу: x = 0, y = 0;

с осью Ох: y = 0, x = 0, x = 1.

4. Асимптоты кривой.

Вертикальных асимптот нет.

Попробуем найти наклонные асимптоты в виде y = kx + b.

- наклонных асимптот не существует.

5. Находим точки экстремума.

Для нахождения критических точек следует решить уравнение 4х³ – 9х² +6х –1 = 0.

Для этого разложим данный многочлен третьей степени на множители.

Подбором можно определить, что одним из корней этого уравнения является число

х = 1. Тогда:

4x³ – 9x² + 6x – 1 x - 1

` 4x³ – 4x² 4x² – 5x + 1

- 5x² + 6x

` - 5x² + 5x

x - 1

` x - 1

Тогда можно записать (х – 1)(4х² – 5х + 1) = 0. Окончательно получаем две критические точки: x = 1 и x = ¼.

Примечание. Операции деления многочленов можно было избежать, если при нахождении производной воспользоваться формулой производной произведения:

Найдем вторую производную функции: 12x² – 18x + 6. Приравнивая к нулю, находим:

x = 1, x = ½.

Систематизируем полученную информацию в таблице:

	(-¥ ; ¼)	1/4	( ¼ ; ½)	1/2	( ½ ; 1 )		(1 ; ¥)
f¢¢(x)	+	+	+		-		+
f¢(x)	-		+	+	+		+
f(x)	убывает вып. вниз	min	возрастает вып.вниз	перегиб	возрастает вып.вверх	перегиб	возрастает вып. вниз

6. Построим график функции.