Производная параметрически,заданной функции.

Пусть функция задана параметрическим уравнением:

y`x= = =

2-ая производная параметрически заданной функции.

35.Основные теоремы дифференциального исчисления:Ферма,Ролля,Лагранжа,Коши.

Теорема Ферма

Пусть функция f (x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Тогда если в этой точке существует конечная производнаяf '(c),то

f '(c)=0.

36.Правила Лопиталя.

Предел отношения двух б.м. или двух б.б. функций при х->x0=пределу отношения производных этих функций при х->x0 при условии,что последний предел существует.

Докажем это утверждение при условии,чтоf(x),g(x).f`(x),g`(x)-непрерывные в т. х0,причем g`(x0)

Поскольку f(x) и g(x) непрерывны в т. х0,то

В силу непрерывности производных f`(x) и g`(x) в т. х0 будем иметь

Замечание!

Если предел также даёт неопределенность,то мы должны взять ещё одну производную и т.д.

37.Условия возрастания и убывания функции на промежутке.Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума.(Приложение и применение производной к исследованию поведения ф-ии)

1.Условия монотонности ф-ии,условия существования т.экстремума ф-ии.

Теорема 1: Пусть функция y=f(x)дифференцируема на [a,b],тогда:

1)f`(x)<0,x

2)f`(x)>0,x то y=f(x) возрастающая на ( функция.

Доказательство: выберем 2 точки х1 и х2 на (a,b),a<x1<x2<b,тогда f(x)-дифференцируема на интервале (х1,х2) и непрерывна на отрезке [x1;x2] ,т.к. всякая дифференцируемая функция непрерывна таким образом выполнены все условия теоремы Логранжа и согласно этой теоремы найдется такая точка в (х1,х2) такая что f(x2)-f(x1)=f`(c)(x2-x1)

Если f`(c)>0,то f(x2)-f(x1)>0= f(x2)>f(x1) при x2>x1(опред.возраст.ф-ии)

Если f`(c)<0= f(x2)-f(x1)<0= f(x2)<f(x1) при х1<x2(опред.убыв.ф-ии)

Точка х0 называется точкой локального максимума(локального минимума)ф-ииy=f(x),если сущ. Такая окрестность т х0,чтодля всех точек из этой окрестности за исключением самой т. х0. Выполняется неравенство f(x)<f(x0)(f(x0)>f(x0))

Значение функции в точке локального максимума

Точка maxи min функции-точки экстремума.

Теорема 2:(необх.условия сущ. Т. экстремума)

Если т.х0 т.локального экстремума непрерывной ф-ииf(x),то в этой точке либо производная=0,либо производная не существует в этой точке.Обратное утверждение неверно.

Точки в кот. Производная =0 или не сущ. Называются критическими точками 1-го рода.

Теорема 3(Достаточные условия сущ. Т. экстремума)

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в некоторой дельта окрестности т.х0 и f`(x0)=0,тогда:

1)если f`(x)<0,x

2)если f`(x)>0,x

Замечание! Теорема остаётся справедливой и в случае,когда ф-ияf(x) не является дифференцируемой в т х0,а лишь непрерывна в этой точке.