Производная функции, заданной параметрически

Пусть Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Предположим, что эти функции имеют производные и функция x = j(t) имеет обратную функцию t = Ф(х).

Тогда функция у = y(t) может быть рассмотрена как сложная функция y = y[Ф(х)].

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

т.к. Ф(х) – обратная функция, то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Окончательно получаем: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Таким образом, можно находить производную функции, не находя непосредственной зависимости у от х.

50. Теоремы о среднем. Правило Лопиталя-Бернулли. Формулы Тейлора и МакЛорена.

Теорема Роля: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает одинаковые значения f(a)=f(b), то найдется хотя бы одна точка Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , в которой производная Производная функции, заданной параметрически - student2.ru обращается в ноль, т.е. Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Теорема Коши: Если функции f(x) и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируемы на интервале (a,b), причем Производная функции, заданной параметрически - student2.ru для Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то найдется хотя бы одна точка Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , такая, что выполняется равенство Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Теорема Лагранжа:Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то найдется хотя бы одна точка Производная функции, заданной параметрически - student2.ru такая, что выполняется равенство Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Это так же является формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке [a,b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой точке этого отрезка. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Правило Лопиталя (по раскрытию неопределенностей вида 0/0) :Пусть функции f(x) и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и обращаются в ноль в этой точке: f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru )= Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Пусть Производная функции, заданной параметрически - student2.ru в окрестности точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Если существует предел Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Правило Лопиталя (по раскрытию неопределенностей вида Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ) : Пусть функции f(x) и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru (кроме, может быть, точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ), в этой окрестности Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Если существует предел Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

51.Монотонность функции. Экстремум. Необходимые и достаточные условия.

Теорема(необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a,b) функция f(x) возрастает (убывает), то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru для любых Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Док-во. Пусть функция f(x) возрастает на интервале (a,b). Возьмем произвольные точки х и х + Производная функции, заданной параметрически - student2.ru на интервале (a,b) и рассмотрим отношение Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Функция f(x) возрастает, поэтому если Производная функции, заданной параметрически - student2.ru >0, то x+ Производная функции, заданной параметрически - student2.ru >x и f(x+ Производная функции, заданной параметрически - student2.ru )>f(x); если Производная функции, заданной параметрически - student2.ru <0, то x+ Производная функции, заданной параметрически - student2.ru >x и f(x+ Производная функции, заданной параметрически - student2.ru )<f(x). В обоих случаях Производная функции, заданной параметрически - student2.ru >0, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция f(x) имеет производную в точке x и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно, Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Аналогично рассматриваем тот случай, когда функция f(x) убывает на интервале (a,b). Данная теорема означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ox или в некоторых точках параллельны оси Ox.

Теорема(достаточные условия). Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru для Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a,b). Док-во. Пусть Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Возьмем точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru из интервала (a,b), причем Производная функции, заданной параметрически - student2.ru > Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Применим к отрезку [ Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ] теорему Лагранжа: f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ) - f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru )= Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , где Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . По условию Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Следовательно, f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ) - f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru )>0 или f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru )>f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ), т.е. функция f(x) на интервале (a,b) возрастает. Возрастающая или убывающая функция называется монотонной. Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то ее производная в этой точке равна нулю: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Док-во: Пусть, для определенности, Производная функции, заданной параметрически - student2.ru -точка максимума. Значит, в окрестности точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru выполняется неравенство Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Но тогда Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , если Производная функции, заданной параметрически - student2.ru >0, и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , если Производная функции, заданной параметрически - student2.ru <0. По условию теоремы производная Производная функции, заданной параметрически - student2.ru существует. Переходя к пределу, при Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , получим Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , если Производная функции, заданной параметрически - student2.ru <0 и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , если Производная функции, заданной параметрически - student2.ru >0. Поэтому : Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Теорема (достаточное условие экстремума): Если непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой Производная функции, заданной параметрически - student2.ru -окрестности и критической точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и при переходе через нее 9слева направо) производная Производная функции, заданной параметрически - student2.ru меняет знак с плюса на минус, то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru есть точка максимума; с минуса на плюс, то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru -точка минимума. Док-во: рассмотрим Производная функции, заданной параметрически - student2.ru -окрестность точки Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Пусть выполняются условия: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Тогда функция f(x) возрастает на интервале Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , а на интервале Производная функции, заданной параметрически - student2.ru она убывает. Отсюда следует, что значение f(x) в точке Производная функции, заданной параметрически - student2.ru является наибольшим на интервале Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , т.е. f(x)<f( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ) для всех Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Это и означает, что Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - точка максимума функции.

52. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Необходимые и достаточные условия. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

- График функции y=f(x) назыв. выпуклым (вверх) на отрезке [a,b], если он расположен ниже касательной. Для дифференцируемой на [a,b] функции график расположен ниже любой касательной; для недифференцируемой функции график расположен выше хорды((a, f(a) и (b, f(b))).

- График функции назыв. вогнутым (выпуклым вниз) на [a,b], если он расположен выше касательной (ниже хорды). Если в левой U( Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ) график функции выпуклый в одну сторону, а в правой окрестности в другую сторону, то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru -точка перегиба.

- Если функция y=f(x) дважды дифференцируема на [a,b] и для любых Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то график является выпуклым вниз(вогнутым). Если Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то график является выпуклым. Достаточное условие точки перегиба: Пусть f - дважды дифференцируемая функция в окрестности Производная функции, заданной параметрически - student2.ru и Производная функции, заданной параметрически - student2.ru или Производная функции, заданной параметрически - student2.ru не существует. Если при этом для любых Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , а для любых Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - точка перегиба.

Асимптоты. При исследовании поведения графика функции либо в бесконечности, либо вблизи точек разрыва второго рода часто оказывается, что график приближается к некоторой прямой линии. Другими словами, расстояние между точками графика функции и точками прямой линии, измеренные по вертикали и горизонтали, стремится к нулю. Такие прямые линии – асимптоты графика функции. Бывают вертикальные (точки разрыва 2ого рода), либо наклонные (поведение функции в бесконечности). Горизонтальная асимптота – частный случай наклонной. Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот. Для того, чтобы график функции y=f(x) имел наклонную асимптоту y=kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Общая схема исследования функции. 1. Находим область определения D(x). 2. Находим точки разрыва второго род, обозначаем вертикальные асимптоты. 3. Исследуем функцию на четность/нечетность, периодичность. 4. Находим точки пересечения с Ox и Oy. С Ox: x=o, y-?. C Oy: y=0, x-? 5. Находим наклонные асимптоты, если они есть. 6. Исследуем функцию на наличие критических точек. Решаем уравнение Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . 7. Определяем промежутки монотонности. 8. Находим вторую производную и точки, для которых она равна 0 или не существует. 9. Находим промежутки знакопостоянства второй производной. 10. Составляем таблицу. 11. на основе таблицы определяем точки локального экстремума и точки перегиба.

53. Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Производная. Касательная прямая и нормальная плоскость.

Векторная функция скалярного аргумента.

 
  Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

A(x, y, z)

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Пусть некоторая кривая в пространстве задана параметрически: x = j(t); y = y(t); z = f(t); Радиус- вектор произвольной точки кривой: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Запишем соотношения для некоторой точкиt0: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Тогда вектор Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - предел функции Производная функции, заданной параметрически - student2.ru (t). Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Очевидно, что Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , тогда Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Чтобы найти производную векторной функции скалярного аргумента, рассмотрим приращение радиус- вектора при некотором приращении параметра t.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ; Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ;

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

или, если существуют производные j¢(t), y¢(t), f¢(t), то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Это выражение – вектор производная вектора Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Производная функции, заданной параметрически - student2.ru ; Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Если имеется уравнение кривой: x = j(t); y = y(t); z = f(t); то в произвольной точке кривой А(xА, yА, zА) с радиус- вектором Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

можно провести прямую с уравнением Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Т.к. производная Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - вектор, направленный по касательной к кривой, то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Уравнение нормальной плоскостик кривой будет иметь вид: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор Производная функции, заданной параметрически - student2.ru при изменении параметра S, называется годографом этого вектора. Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , тогда Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z). Но т.к. Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - единичный вектор, направленный по касательной. Если принять Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Причем Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Рассмотрим вторую производную Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Определение: Прямая, имеющая направление вектора Производная функции, заданной параметрически - student2.ru называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , где К – кривизна кривой. Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

54. Кривизна и кручение. Кривизна пространственной кривой.

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru z

B

A(x, y, z) Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

0 y

x

Для произвольной точки А, находящейся на пространственной кривой, координаты могут быть определены как функции некоторой длины дуги S.

x = j(S); y = y(S); z = f(S); Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Приведенное выше уравнение называют векторным уравнением линии в пространстве.

Определение: Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор Производная функции, заданной параметрически - student2.ru при изменении параметра S, называется годографом этого вектора. Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , тогда Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - вектор, направленный по касательной к кривой в точке А(x, y, z). Но т.к. Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru - единичный вектор, направленный по касательной. Если принять Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , то Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Причем Производная функции, заданной параметрически - student2.ru . Рассмотрим вторую производную Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Определение: Прямая, имеющая направление вектора Производная функции, заданной параметрически - student2.ru называется главной нормалью к кривой. Ее единичный вектор обозначается Производная функции, заданной параметрически - student2.ru .

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru , где К – кривизна кривой. Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Кривизна пространственной кривой может быть найдена по формуле: Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Возможна и другая запись формулы для кривизны пространственной кривой (она получается из приведенной выше формулы):

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru Определение: Вектор Производная функции, заданной параметрически - student2.ru называется вектором кривизны. Величина Производная функции, заданной параметрически - student2.ru называется радиусом кривизны.

Величина Производная функции, заданной параметрически - student2.ru называется кручением кривой.

55. Сопровождающий трёхгранник Френе. Формулы Френе.

Под трёхгранником Френе, иначе называемым естественным, сопровождающим или сопутствующим трёхгранником или репером, понимают тройку векторов Производная функции, заданной параметрически - student2.ru сопоставленную каждой точке гладкой кривой, где Производная функции, заданной параметрически - student2.ru — единичный касательный вектор, Производная функции, заданной параметрически - student2.ru — единичный вектор главной нормали, Производная функции, заданной параметрически - student2.ru — единичный вектор бинормали к кривой в данной точке. Если s — натуральный параметр вдоль кривой, то векторы Производная функции, заданной параметрически - student2.ru вязаны соотношениями:

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

Производная функции, заданной параметрически - student2.ru

называемыми формулами Френе и задающими натуральное уравнение кривой.

Наши рекомендации