Методические указания по выполнению раздела №2.7

Марковские процессы являются наиболее изученным и простым классом случайных процессов с дискретным множеством состояний и непрерывным временем, которыми можно описывать эволюцию состояний технической системы в процессе технической эксплуатации. С помощью марковских процессов можно описывать поведение многих реальных физических систем, и для них хорошо разработан математический аппарат, позволяющий решать прикладные задачи.

Марковский процесс. Пусть Y – некоторая формальная система (техническая, эргатическая, экономическая), которая может находиться в состояниях S₁ , S₂ ..., и F – система множеств U, образованных из элементов S₁ , S₂ ... Процесс Y(t) изменения состояний системы Y называется марковским процессом по отношению к F, если при любом выборе состояния S, множества U и моментов времени t₁ и t₂(t₁<t₂) существует определенная вероятность Р(t₁, S;t₂,U) того, что система, находящаяся в состоянии S в момент времени t₁ попадет в момент t₂ в одно из состояний U. При этом предполагается, что если известно состояние системы в момент t₁, то распределение вероятностей Р(t₁, S; t₂,U) для всех t>t₁ не зависит от изменения системы Y до момента t₁. Если вероятность Р(t₁, S; t₂, U) определена лишь для t₀≤t₁<t₂, то говорят, что процесс изменения состояний системы Y будет марковским процессом при t≥t₀.

Марковские процессы часто называют также процессами без последействия, так как для них поведение процесса в будущем определяется настоящим состоянием и не зависит от предыдущего состояния.

Вероятности состояний технической системы – вероятности состояний марковского процесса, описывающего его эволюцию во времени. Для вероятностей реализации состояний (пусть их общее число равно m) существует система m обыкновенных линейных дифференциальных уравнений (уравнения Колмогорова - Чепмена) первого порядка.

В теории надежности при анализе сложных систем необходимо решить систему m уравнений (число уравнений равно количеству рассматриваемых состояний процесса). При этом правильность такого описания процесса технической эксплуатации и количество решаемых уравнений m зависят от определения понятия состояние технической системы. Существуют различные способы описания состояний.

Признак состояния – число отказавших элементов. Состояние может определяться числом отказавших или работоспособных единиц оборудования, составляющих техническую систему.

Признак состояния – уровень значения определяющего параметра. Под состоянием технической системы будем понимать такое состояние ее оборудования, при котором уровень определяющего параметра системы Np равняется некоторому фиксированному значению Np=Ni из заданного ограниченного набора {Ni}=1, 2, ..., п.

Признак состояния – число отказавших элементов в блоке. Подавляющая масса технических систем, особенно таких как морские системы связи, обладает свойством блочности. Блочность как свойство технической системы заключается в наличии среди составляющего оборудования совокупностей (блоков) однотипных элементов, представляющих собой структуры типа m из n. Система типа т из п в теории надежности – это система однотипных элементов (точнее, неразличимых по их влиянию на надежность системы более высокого уровня иерархии), отказ которой наступает при отказе m элементов из полного числа n. Свойство блочности дает возможность сократить число состояний марковского процесса.

Для определения интенсивностей переходов между состояниями процесса требуется детальное изучение структурно-функциональной схемы технической системы, возможных сочетаний отказов и восстановлений и их последствий для различных единиц оборудования. Сегодня нет достаточно универсальной методики определения интенсивностей переходов между состояниями процесса при таком их определении, и, думается, что создать такую универсальную методику не представляется возможным в силу практически бесконечного числа принципиально различающихся структурно-функциональных схем технических систем.

Использовать этот подход целесообразно в случаях достаточно простых структурно-функциональных схем, когда ясна картина отказов и восстановлений и их последствий для любого сочетания состояний отдельных единиц оборудования.

В случае системы с невосстанавливаемым оборудованием, как правило, нетрудно установить отказы каких единиц оборудования, и в какой последовательности приводят к состояниям с теми или иными уровнями параметра, т.е. построить схему переходов между этими уровнями. В таком случае интенсивности переходов между состояниями с различными уровнями мощности будут простой комбинацией (суммой) интенсивностей отказов соответствующих единиц оборудования рассматриваемой технической системы.

При исследовании надежности сложных технических систем одним из основных этапов является составление системы дифференциальных уравнений для вероятностей реализации возможных состояний объекта или процесса. Основной задачей здесь является определение коэффициентов уравнений – интенсивностей переходов между состояниями системы . Интенсивности переходов определяются после построения графа состояний марковско­го процесса, описывающего эволюцию состояний рассматриваемой технической, системы.

Как уже отмечалось выше, эти интенсивности определяются по известным интенсивностям отказов и интенсивностям восстанов­ления отдельных элементов технической системы.

Графом состояний называют графическое представление состояний системы (или пространства состояний процесса, описывающего ее функционирование) и возможных переходов между состояниями с указанием интенсивностей этих переходов и уровня определяющего параметра системы, реализующего в каждом из состояний. Отдельные состояния изображаются точкой, называемой вершиной графа. Вершины соединяются между собой ребрами, изображающими возможные переходы между состояниями. При этом пере­ход (и соответствующее ему ребро) называется прямым, если он порожден отказом отдельного элемента рассматриваемой технической системы, и обратным, если он порожден восстановлением элемента.

Построение графа состояний любой технической системы начинается с составления полного набора ее состояний или полной набора векторов вершин графа

,

где m – полное число состояний технической системы (вершин графа); – число отказавших элементов в j-м блоке и в i-м состоянии системы.

Полный набор векторов {х_i} определяется числом возможных сочетаний всех допустимых значений их координат , j=1, 2, …, L. Вершины графа можно разделить на вершины, соответствующие: работоспособным состояниям технической системы; состояниям её полного отказа, после которого допустимо восстановление работоспособности системы, и, наконец, состояниям полного отказа технической системы, восстановление работоспособности после которого на рассматриваемом промежутке времени невозможно. Назовем их соответственно вершинами первого, второго и третьего типов. Вершины третьего типа допускают объединение в одну вершину без потери информации.

Прямые ребра графа состояний строятся в соответствии с отказами элементов рассматриваемой технической системы, а обратные – в зависимости от применяемой стратегии её ремонтного обслуживания, в частности, с учетом того, одновременно или в какой определенной последовательности восстанавливаются отказавшие элементы. Выбор определенной стратегии ремонтного обслуживания особенно существен при построении обратных ребер, выходящих из тех вершин графа состояний, которые определяются состояниями технической системы с более чем одним отказавшим элементом (единицей) оборудования.

Максимально возможное число прямых ребер, выходящих из отдельной вершины графа состояний, равно числу блоков L в рассматриваемой технической системе.

Для удобства последующих операций при составлении системы дифференциальных уравнений для вероятностей реализации всех возможных состояний процесса следует пронумеровать вершины графа состояний в определенном порядке. Нумерацию вершин начинаем с вершины, соответствующей состоянию, в котором всё оборудование технической системы работоспособно. Затем нумеруем остальные вершины первого типа, далее в порядке возрастания присваиваем номера вершинам второго типа. Множество вершин третьего типа после объединения соответствующих им состояний в одно вырождается множество, содержащее только один элемент (вершину). Этой вершине присваиваем последний номер, пусть это будет номер m. Таким образом, граф состояний технической системы будет содер­жать m вершин.

Выведем систему дифференциальных уравнений для вероятностей реализаций возможных со­стояний ординарного дискретного марковского. Для этого введем обозначения:

- – интенсивности ухода из состояния S_i,

- – интенсивности переходов между состояниями S_i и S_j.

Система уравнений для вероятностей реализации состояний P_i(t) ординарного марковского процесса представляет собой систему уравнений баланса вероятностей. Вероятность для процесса перейти из состояния S_i в любое другое возможное состояние за малое время , где – вероятность того, что процесс не изменит своего состояния за время от t до t + Δt. В тоже время вероятность того, что процесс попадет в состояние Х_i из какого-либо иного состояния за время Δt:

, (1)

где – вероятность того, что система, находясь в мо­мент времени t, в состоянии S_j, в момент времени t+Δt окажется в состоянии S_i. Тогда по соображениям баланса можно записать

.

Переходя к пределу при Δt→0, получаем систему дифференциальных уравнений Колмогорова – Чепмена:

, (2)

где – вероятность того, что в момент времени t>t₀ процесс будет находиться в состоянии S_i. Легко показать, что вероятности P_i(t) удовлетворяют условию:

, (3)

где m – полное число состояний рассматриваемого марковского процесса. Для этого достаточно сложить уравнения системы (2). Соотношение (3) является выражением того факта, что с вероят­ностью, равной единице, процесс находится в каком-то одном из состояний .

Следует отметить, что в теории надежности коэффициенты уравнений (интенсивности переходов между состояниями процесса), определяются линейными комбинациями интенсивностей отказов или восстановлений отдельных элементов рассматриваемой технической системы и являются непрерывными и ограниченными функциями времени.

В качестве примера рассмотрим систему с нагруженным резервом, структурная схема которой представлена на рис.1.

Рис.1. Надежностная схема системы с общим ненагруженным резервом

Рассматриваемая система, состоящая из двух подсистем (основной и резервной), может находиться в следующих состояниях:

0 – все части системы исправны;

1 – подсистема 1 отказала и поставлена на ремонт (вероятность ее отказа равна Р₀₁, вероятность восстановления равна Р₁₀);

2 – подсистема 2 отказала и поставлена на ремонт (вероятность ее отказа равна Р₁₂, вероятность восстановления Р₂₁) – полный отказ системы.

Рис.2. Граф состояний системы с общим ненагруженным резервированием

Вероятность перехода из нулевого состояния во второе и обратно равна нулю; вероятность перехода из второго состояния в первое Р₂₁; вероятность перехода системы из первого состояния во второе равна Р₁₂; а из нулевого в первое Р₀₁, из первого в нулевое Р₁₀. Вероятность того, что система остается в некотором i-м состоянии, обозначаются Р_ii.

Граф состояний может быть представлен как матрицей переходов, так и системой уравнений.

Матрица перехода для графа, изображенного на рис.1, имеет следующий вид:

. (4)

В строках матрицы расположены вероятности перехода из i-го состояния в j-е состояние, либо сохранение i-го состояния.

Система уравнений, определяющая вероятности состояний в момент времени t + Dt согласно формуле полной вероятности имеет вид:

В строках матрицы расположены вероятности перехода из i-го состояния в j-е состояние, либо сохранение из i-го состояния.

Система уравнений, определяющая вероятности состояний в момент времени t + Dt согласно формуле полной вероятности имеет вид:

. (5)

Первое уравнение этой системы означает следующее: вероятность того, что система за время t + Dt не выйдет из нулевого состояния, равна произведению вероятности того, что система находилась в момент времени t в нулевом состоянии и не перейдет из него за время Dt в первое состояние, плюс вероятности того, что система находилась в первом состоянии и перейдет из него в нулевое состояние.

Если вероятности отказов и вероятности восстановления заданы в виде функций интенсивностей отказов и восстановлений, тогда используют предположение об экспоненциальном законе распределения отказов и восстановлений (такие процессы называются марковскими). Условие для марковского процесса можно записать в виде разложения в степенной ряд Маклорена, ограничиваясь первым приближением:

(6)

Подставив (6) в (5), получим:

(7)

Если в каждом из этих уравнений перенести левую часть уравнения и учесть, что

то (7) перепишется следующим образом:

(8)

Как было сказано выше, дифференциальных уравнений носит название уравнений Колмогорова.

Найти решение системы уравнений (8) можно воспользовавшись преобразованием Лапласа, позволяющим превратить систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических уравнений. Уравнения высоких порядков решаются, конечно, численными методами. Однако современные средства компьютерной математики позволяют решать системы дифференциальных уравнений Колмогорова любой сложности.

По виду системы (8) можно сформулировать правило, позволяющее составлять уравнения Колмогорова непосредственно по графу состояний.

Для этого в левой части каждого уравнения надо записать (где P_k – вероятность k-го состояния), а в правой части столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена в данное состояние, то ставится плюс, если из данного состояния – минус.

Перейдем теперь к технике инженерных расчетов надежности восстанавливаемого изделия с использованием графа состояний. Из выше приведенных выражений видно, что расчеты надежности связаны с решением систем дифференциальных уравнений, а это представляет определенные трудности, если решать их обычными ручными методами. Поэтому в инженерной практике распространение получили такие методы расчета, которые упрощают расчет и в тоже время позволяют получать необходимые данные о показателях надежности изделия. Один из таких методов мы рассмотрим ниже.

Практика расчетов характеристик надежности в условиях воздействия потоков отказов и восстановлений позволяют сделать вывод о том, что при реально наблюдаемых соотношениях l и m сравнительно быстро наступает период установившегося режима, когда вероятности состояний изделия становятся постоянными. Такой режим функционирования системы, когда вероятность нахождения её в любом из возможных состояний не зависит от времени, называется стационарным. Это дает возможность принять при расчетах значения равными нулю. Тогда система дифференциальных уравнений становится системой алгебраических уравнений, например, система дифференциальных уравнений (8) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

. (9)

Для получения нетривиального решения в (9) одно из уравнений необходимо заменить нормировочным условием, что в любой момент времени система находится в одном из состояний с вероятностью равной единице (3). Тогда полученная система уравнений перепишется в виде:

(10)

Решая систему (10) получаем значения вероятностей состояний, характеризующих установившийся стационарный режим. Стационарная вероятность работоспособного состояния называется коэффициентом готовности и равна сумме вероятностей нахождения системы в работоспособных состояниях.