Тема 5. «Решение систем линейных уравнений методом Крамера».

Определение 1.Определитель называется главным, если составлен из коэффициентов при неизвестных. Алгоритм решения систем уравнений методом Крамера 1). Вычислить главный определитель ( ) 2) Найти определители , где получается из главного определителя путём замены i-го столбца столбцом свободных членов системы. 3) Найти неизвестные по формулам: , …., Пример 1. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений (1) Решение. Вычислим главный определитель системы Так как Δ ≠ 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Для этого найдем : . Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получим искомое решение системы: . Ответ: (3; -5; 2)

Тема 6. «Нахождение обратной матрицы»

Определение 1.Матрица называется обратной матрице А, если выполняется условие: ( Е – единичная матрица) Определение 2. Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель не равен нулю ( Если , то матрица вырожденная). Теорема: Если матрица невырожденная, то она имеет обратную матрицу, которая находится по формуле: , где - определитель матрицы А, - алгебраические дополнения ( i- номер строки, j- номер столбца). Алгоритм решения: 1) Вычислить определитель матрицы . 2) Найти алгебраические дополнения 3) Составить матрицу алгебраических дополнений к элементам матрицы 4) Транспонировать матрицу алгебраических дополнений. 5) Каждый элемент матрицы разделить на . Полученная матрица и будет обратной к исходной. 6) Проверка. . Пример 1. Найдите обратную матрицу и выполните проверку: Решение:1) Найдём определитель матрицы А: 2) Вычислим алгебраические дополнения: 3) Составим матрицу алгебраических дополнений 4) Транспонируем матрицу алгебраических дополнений. 5) Каждый элемент матрицы разделим на . Полученная матрица и будет обратной к исходной. 6) Проверка.

Тема 7. «Решение систем в матричной форме».

Алгоритмрешения систем в матричной форме: 1) Записать систему уравнений в матричном виде : АХ=В, где А-матрица коэффициентов перед неизвестными, Х – матрица-столбец неизвестных, В- матрица-столбец свободных членов 2) Найти обратную матрицу . 3) Найти неизвестные по формуле: Пример 1.Решите систему уравнений в матричной форме. Решение: Запишем систему иначе: , где , Найдем , для этого вычислим определитель: существует. , , , , , , . = Проверка: Ответ: (4,6; -7,8; 5).

ОБРАЗЕЦ выполнения контрольной работы « Линейная алгебра».

Решить систему уравнений

а) методом Гаусса, б) методом Крамера, в) в матричной форме.

А) Метод Гаусса:

Ответ: (1; 2; 0)

б) Метод Крамера: Вычислим главный определитель( из коэффициентов при х)

Заменяем в главном определителе первый, (второй, третий) столбик столбцом свободных коэффициентов, получим: . . , , .

Ответ: (1; 2; 0).

в) В матричной форме: , где ,

. , , ,

, ,

.

. Ответ: (1; 2; 0)

РАЗДЕЛ 7. «Основы аналитической геометрии».