Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума.

Находим производную:

= .

В области допустимых значений производная не имеет точек разрыва.

Нули производной находим, решая уравнение =0; ; .

Точка разбивает область допустимых значений на два интервала и . Определяем знаки производной на каждом интервале и по знакам производной определяем интервалы возрастания и убывания функции. Результаты сводим в таблицу.

x	(0; )	( ;+¥)
y¢	+	-
y

В точке производная меняет знак с плюса на минус. Значит, точка является точкой максимума функции. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем .

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную

.

В области допустимых значений вторая производная точек разрыва не имеет. Для определения точек, в которых она равна нулю, решаем уравнение =0; ; ; .

Определяем интервалы знакопостоянства второй производной и интервалы выпуклости и вогнутости функции. Результаты сводим в таблицу.

x	(0; )	( ;+¥)
y¢¢	-	+
y	Ç	È

Вторая производная меняет знак в точке х= , следовательно, эта точка является точкой перегиба. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем .

На основании проведенного исследования строим график функции.

Задача.

Методами дифференциального исчисления провести полное исследование функции и построить ее график: .

Решение.

1. Область определения данной функции – вся числовая ось.

Четность, нечетность функции.

Имеем . Данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат.

Поскольку данная функция элементарная и определена на всей числовой оси, то она непрерывна на всей числовой оси.

Для определения нулей функции решаем уравнение ; 2x+3=0; .

Интервалы знакопостоянства функции.

Функция может изменить знак только в одной точке . Определим интервалы знакопостоянства функции.

x
y	-	+

при .

при .

Найдем точки пересечения с осями:

y=3 при x=0, следовательно - точка пересечения с осью .

при , следовательно - точка пересечения с осью

Асимптоты графика функции.

А. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

Б. Наклонные асимптоты.

Учитывая разное поведение функции при и при , будем искать асимптоты по отдельности для и .

.

.

Отметим, что во втором пределе присутствует неопределенность вида , которую мы обратили в неопределенность вида . Далее предел вычисляется по правилу Лопиталя, в соответствии с которым предел отношения при наличии неопределенности равен пределу отношения производных числителя и знаменателя. Итак, при график исследуемой функции имеет горизонтальную асимптоту, совпа­дающую с осью : y=0.

Выясним, существует ли наклонная асимптота при .

Поскольку коэффициент k не имеет конечного значения, делаем вывод о том, что график не имеет наклонной асимптоты при .