Интервалы монотонности, точки экстремума

Определение 15. Пусть функция Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru определена на множестве D. Если для любых значений аргументов Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru из неравенства Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru вытекает неравенство Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru , то функция называется возрастающей на множестве

х
-2
О
у
y=f(x)
Рис.7. Интервалы монотонности
D; если Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru то функция называется неубывающей на множествеD; если Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru то функция называется убывающей на множествеD; при Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru функция называется невозрастающей на множествеD.

Определение 16. Убывающие, возрастающие, невозрастающие, неубывающие функции на множестве D называются монотонными на этом множестве, а убывающие и возрастающие − строго монотонными.

Определение 17. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

Например, графически заданная функция Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru (рис. 7) убывает на интервале (-2;1) (строго монотонна), не убывает на интервале (1;5) (монотонна), возрастает на интервале (3;5) (строго монотонна).

Теорема 5 (необходимые условия возрастания (убывания) функции). Если дифференцируемая на интервале Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru функция Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru возрастает (убывает), то Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru для любых Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

Теорема6 (достаточные условия возрастания (убывания) функции). Если функция Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru дифференцируема на интервале Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru и Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru для любых Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru то эта функция возрастает (убывает) на интервале Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

х
у
О
Рис. 8. Касательные к графикам возрастающей и убывающей функций
у
а
б
х
О
Геометрически условия монотонности означают: если касательные к кривой в некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс, то функция возрастает (рис.8, а), если под тупыми, то убывает (рис.8, б).

Определение 18. Пусть функция Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru определена в точке Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru и в некоторой окрестности этой точки.Точка Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru называется точкой максимума (минимума) функции Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru , если существует такая Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru -окрестность точки Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru , что для всех Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru из этой окрестности выполняется неравенство Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru (рис. 9а, б; рис. 10).

Определение 19. Точки максимума и минимума называются экстре­мальными точками (экстремумами).

Определение 20. Значение функции в точках максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции − экстремумом функции.

Экстремумфункциичасто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что понятие экстремумасвязано лишь с достаточно малой Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru -окрестностью точки Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой точке. Наличие максимума (минимума) в отдельной точке данного промежутка вовсе не означает, что в этой точке функция Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)). В данномучебно-методическом пособии мы будем рассматривать только локальные экстремумы.

х
у
О
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
х
у
х
О
О
у
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
а
б
в
Теорема 7 (необходимое условие экстремума). Если Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − точка локального экстремума для функции Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru , то в этой точке производная функции либо равна ( Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru ),либо не существует.

Рис. 9. Касательная, параллельная Ох

х
у
О
Рис. 10. Касательная в точках экстремума
у
а
б
х
О
О
х
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
в
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Геометрически теорема означает, что в точках экстремума касательная к графику функции либо параллельна оси Ох (если Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru ) (см. рис. 9,а, б), либо перпендикулярна оси Ох (если Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru ) (см. рис. 10,б, в), либо касательную провести невозможно (если Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru не существует)(см. рис. 10,а).

Определение 21. Критическими точками первого рода называются точки, в которых производная функции Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru равна нулю либо равна бесконечности, либо не существует.

Критические точки должны входить в область определения функции.

Теорема 8 (достаточное условие экстремума). Если непрерывная функция Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru дифференцируема в некоторой Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru -окрестности критической точки Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru и при переходе через нее (слева направо) производная Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru меняет свой знак с плюса на минус, то Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru есть точка максимума; с минуса на плюс – точка минимума.

Экстремумы функции находятся среди критических точек первого рода, но критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума. На рисунке 9,в точка Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru является критической, Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru но не является точкой экстремума, так какпри переходе через нее производная Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru не меняет свой знак.

В точках экстремума меняется знак производной и вместе с ним меняется характер поведения функции. Таким образом, найдя точки экстремума функции, можно определить интервалы монотонности функции.

2.10.1.Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы

1) Найти область определения функции Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

2) Найти производную функции Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

3) Найти критические точки первого рода, решив уравнение Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

4) На числовую ось нанести область определения функции и критические точки первого рода. В полученных интервалах определить знак производной и поведение функции.

5) Определить, какие из критических точек являются точками экстре­мума, вычислить значения функции в точках экстремума.

6) Указать интервалы монотонности функции.

Пример 2.8. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции:

а) Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

Решение.

1. Найдем область определения функции Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

2. Найдем производную функции

Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

3. Найдем критические точки первого рода, решив уравнение Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Все корни уравнения принадлежат Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru и являются критическими точками первого рода.

Знак производной
+
7/5
+
+
_
х
Поведение функции
max
min
Нет экстремума
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
4. Отметим на числовой оси область определения функции и критические точки первого рода. Строим диаграмму исследования функции на экстремум и интервалы монотонности (рис. 11).

Рис. 11. Интервалы монотонности, точки экстремума

5. Точки экстремума: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − точка максимума, Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru −точка минимума, в точке Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru экстремума нет. Вычислим значения функции в точках экстремума: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Таким образом, Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − точки экстремума графика функции.

6. Интервалы возрастания: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru убывания: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

б) Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

1. Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

2. Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

3. Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − не существует в точке Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − критические точки первого рода.

Знак производной
+
+
_
х
Поведение функции
6/5
max
min
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
4. Результаты исследования нанесем на диаграмму (рис. 12).

Рис. 12. Интервалы монотонности, точки экстремума

5. Из диаграммы на рис. 12 видно, что функция имеет максимум в точке

Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru минимум − в точке Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Таким образом, Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − точки экстремума графика функции.

6. Интервалы возрастания функции: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru интервал убывания функции: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

в) Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

1. Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

2. Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

3. Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru , Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru не существует, при Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Следовательно, Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − критическая точка первого рода.

4. Строим диаграмму (рис.13).

Знак производной
+
_
х
min
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
_
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru
Поведение функции

Рис. 13. Интервалы монотонности, точки экстремума

5. Из диаграммы на рис. 13 видно, что функция имеет минимум в точке Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru − точка минимума графика функции.

6. Интервалы убывания функции: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru интервал возрастания функции: Интервалы монотонности, точки экстремума - student2.ru

Наши рекомендации