Определение первообразной и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.

·

·

·

·

Таблица интегралов

В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).

Определенный интеграл.

Формула Ньютона – Лейбница.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю: где Свойства определенного интеграла Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b]. 1.   2. где k - константа;   3.   4.

Дифференциальные уравнения (д.у.)

О: Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные искомой функции
или ее дифференциалы.

0: Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок дифференциала или
производной от искомой функции в составе данного уравнения.

Дифференциальные уравнения 1-го порядка
О: Д,у.вида f(x)dx=g(y)dyназывается д.у. с разделенными переменными.

О: Д.у.вида f(x)F(y)dx+g(x)G(y)dy=0,называется д.у. с разделяющимися переменными, где f(x), F(y),
g(x), б(у) — заданные функции

О: Решение, содержащее производную постоянную С, называется общим решением д.у.

Алгоритм решения дифференциального уравнения:

1) Представить у' как отношение дифференциалов;

2) Если необходимо, разделить слагаемые таким образом, чтобы дифференциалы dy и dx были в разно частях уравнения.

3) Необходимо преобразовать дифференциальное уравнение таким образом, чтобы все переменные, зависящие от х были в одной части уравнения, а переменные, зависящие от у были в другой части уравнения. Т.е. привести к виду f(x)dx=g(y)dy.

4) Вычислить интеграл от обеих частей уравнения. Получим общее решение.

5) Если заданы начальные условия, то подставив их в общее решение, найдем постоянную С. Зная С, подставим его в общее решение, получим частное решение.

Теория вероятности

0: Испытанием называется всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными
исходами, реализуемое при данном комплексе условий.

0: Результат испытания называется событием.

Виды событий:

Достоверными	называют события, которые обязательно произойдут при данных условиях.
Невозможными	называют события, которые не могут произойти при данных условиях.
Равновозможными	называют события, возможности наступления которых одинаковы,
Несовместными	называют события, если никакие два из них не могут произойти в данном опыте вместе.
Совместными	называют события, если они могут произойти в данном опыте вместе.
Противоположными	называют события А и А, такие, что если не происходит одно А, то другое А обязательно произойдет.
Независимыми	называют события, если возможность наступления одного из них не влияет на возможность наступления другого.
Зависимыми	называют события, если возможность наступления одного из них влияет на возможность наступления другого.

Пример 1: Подбрасывание монеты — это испытание, а выпадение орла или решки — событие. При
подбрасывание монеты, события, заключающиеся в выпадение орла или решки будут
равновозможными и будут несовместными, т.к. не может одновременно выпасть орел и решка.
Пример 2: Бросая игральную кость, рассмотрим два события: А — выпадение чисел 1, 2, 3,
В — выпадение четного числа очков. События А и В совместны, т.к. у них есть общее значение-
выпадение числа 2.

Операции над событиями:

1) Суммой событий А и В называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них. А+В
2) Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее в том, что каждое из них
произойдет. А В.

Классическое определение вероятности:

0: Вероятность события А равна отношению числа ш исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А, к общему числу п всех равновозможных несовместных исходов.

Р(А)=и

Свойства вероятности

1) А — любое событие, О < Р(А) « 1;

2) А — достоверное событие, Р(А)=1;

3) А — невозможное событие, Р(А)=0.

Пример 3: При бросании игральной кости возможно 6равновозможных исходов — выпадение чисел 1,;

3, 4, 5, 6. Пусть событие А — выпадение четного числа очков А=(2, 4, 6). Всего 6 исходов,

3 1 интересующих нас исходов 3 варианта. Вероятность выпадения четного числа очков P(A) = — =—

6 2

Теоремы сложения и умножения вероятностей:

Теорема 1: Если А и В несовместные события, то сумма вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В' Пример: При бросании игральной кости, событие А — впадение числа 1, событие В — выпадение четного числа очков. А=(1), В=~2, 4, 6), P(A)=1/6, Р(В)=3/6=1/2.

А+В=~1, 2, 4, 6), P(A+B)=1/6+ 3/6 = 4/6=2/3.

Теорема 2: Если А и В совместные события, то сумма вероятностей этих событий Р(А+В)=Р(А)+Р(В)Р(А В).

Пример: При бросании игральной кости, событие А — впадение числа 2, событие В — выпадение четного числа очков. А=(2), В=(2, 4, 6), А В=(2), P(AB)=1/6.

Теорема 3: Если А и В несовместные события, то одновременное появление этих событий равно Р(А В)=Р(А) Р(В).

Теорема 4: Вероятность противоположного события Р(А)= 1-Р(А).

Для решения задач на вычисление вероятности вам необходимо посчитать сколько всего возможно вариантов исхода данного события и сколько вариантов удовлетворяет данному событию.

Математическая статистика

Математическая статистика – это наука, изучающая случайные явления посредством обработки и анализа результатов наблюдений и измерений.

Первая задача математической статистики – указать способы получения, группировки и обработки статистических данных, собранных в результате наблюдений, специально поставленных опытов или произведённых измерений.

Вторая задача математической статистики – разработка методов анализа статистических сведений в зависимости от целей исследования. Например, целью исследования может быть:

- оценка неизвестной вероятности события;

- оценка параметров распределения случайной величины;

- оценка неизвестной функции распределения случайной величины;

- проверка гипотез о параметрах распределения или о виде неизвестного распределения;

- оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и т.д.

Случайную величину будем называть генеральной совокупностью .

Исходным материалом для изучения свойств генеральной совокупности являются статистические данные, т.е. значения , полученные в результате повторения случайного опыта (измерения случайной величины ). Предполагается, что опыт может быть повторён сколько угодно раз в неизменных условиях. Это означает, что распределение случайной величины , , заданной на множестве исходов -го опыта, не зависит от и совпадает с распределением генеральной совокупности .

Набор независимых в совокупности случайных величин , где соответствует -му опыту, называют случайной выборкой из генеральной совокупности . Число называетсяобъёмом выборки.

Совокупность чисел , полученных в результате -кратного повторения опыта по измерению генеральной совокупности , называется реализацией случайной выборки или простовыборкой объёма .

В основе большинства результатов математической статистики лежит выборочный метод, состоящий в том, что свойства генеральной совокупности устанавливаются путём изучения тех же свойств на случайной выборке.

Предварительная обработка выборки

Прежде, чем перейти к детальному анализу статистических данных, обычно проводят их предварительную обработку. Иногда её результаты уже сами по себе дают ответы на многие вопросы, но в большинстве случаев они являются исходным материалом для дальнейшего анализа.

Вариационный ряд

Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине.

Выборка объёма из генеральной совокупности , упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом:

.

Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называют размахом выборки.

Статистический ряд

Пусть выборка содержит различных чисел , где и , причём число встречается в выборке раз, . Так бывает либо тогда, когда генеральная совокупность - дискретная случайная величина, либо когда - непрерывна, но её значения при измерении округляют.

Число называют частотой элемента выборки , а отношение - относительной частотой этого элемента.

Статистическим рядом для данной выборки называют таблицу, которая в первой строке содержит значения выборки (напомним: ), во второй строке – частоты , а в третьей строке – относительные частоты этих значений:

Таблица 4.2.1

Значения			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

Статистические данные, представленные в виде статистического ряда, называют группированными.

Другой способ группировки, который используют обычно при больших объёмах выборки ( ) состоит в следующем. Отрезок , содержащий выборку , разбивают на промежутков , как правило, одинаковой длины . Далее, подсчитывают частоты попадания выборочных значений в промежутки и относительные частоты . Получающийся в результате этого статистический ряд

Таблица 4.2.2

Промежутки			…
Частоты			…
Относительные частоты			…

называют интервальным статистическим рядом.

Замечания

1. Может оказаться, что часть значений выборки совпадают с некоторыми границами между соседними промежутками и . Тогда при подсчёте частот и такие значения учитывают одним из следующих способов:

а) считают, что , т.е. каждое выборочное значение увеличивает частоту на единицу и не влияет на частоту ;

б) каждое значение выборки «делится между промежутками и поровну», т.е. и , и увеличиваются за счёт этого значения на . При таком подсчёте частоты могут оказаться полуцелыми, например, .

2. Число промежутков, на которые разбивают отрезок , выбирают в зависимости от объёма выборки . Существуют различные критерии выбора , например, ориентировочную оценку числа промежутков можно получить из соотношения , где - целая часть .

3. В некоторых источниках в качестве статистического ряда рассматривается таблица, содержащая либо только частоты , либо только относительные частоты .