Интегральное и дифференциальное исчисление.

Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что в окружающем нас мире величины (например, цена какого-либо товара и величина спроса на этот товар, прибыль фирмы и объем производства этой фирмы, инфляция и безработица и т.п.) существуют не изолированно друг от друга, а, напротив, они связаны между собой определенным образом. Понятие функции или функциональной зависимости – одно из основных математических понятий, при помощи которых моделируются взаимосвязи между различными величинами, количественные и качественные отношения между различными экономическими показателями и характеристиками. Этими и многими другими вопросами занимается математический анализ.

Из школьного курса математики известно, что функцией называется закон, по которому значениям одной переменной «х» из множества М ( х) ставятся в соответствие значения другой переменной «у» из множества I( у). Функция может быть задана аналитически с помощью одного или нескольких выражений, графически или таблично.

Если функция задана аналитически,то под областью ее определения М(х) (или областью существования) понимаются те действительные числа , при которых аналитическое выражение f(x) не теряет числового смысла и принимает только действительные значения. Поэтому из полного числового множества исключаются точки, где:

1.знаменитель дроби равен нулю;

2. подкоренное выражение для радикалов четных степеней отрицательно (меньше нуля);

3. выражение, стоящее под знаком логарифма, меньше либо равно нулю.

Например

1) Функция имеет областью определения отрезок , где подкоренное выражение неотрицательно.

2) Функция определена на двух полуинтервалах [–1, 0) и (0, 1].

3) Функция определена только при х = 1. Первое слагаемое определено на полуинтервале [1, , а второе также на полуинтервале на . Их объединение и дает точку х = 1.
4) Функция не определена ни при каком х, так как существует при , а – если

Если областью изменения функции y = f ( x ) являются все значения (– ), то ее называют неограниченной. Если , то ее называют ограниченной сверху, , то она ограничена снизу и если то ее называют просто ограниченной (рис.1).

рис. 1

Напомним, что функции могут быть четными, нечетными и общего вида.

Функция называется четной, если для нее выполняется равенство: , и нечетной, если . Четная функция симметрична относительно оси ОY, нечетная – относительно начала координат.

Примером четной функции является степенная функция вида , т.е. с четным показателем степени, а нечетная – с нечетным показателем степени – .

Кроме того, функции могут быть периодическими и непериодическими. Функция называется периодической, если существует такое положительное число Т, что для всех x из области определения выполняется равенство К периодическим, в основном, относятся тригонометрические функции.

Из школьного курса известно, что функции , имеют минимальный период, равный 2 , а , – период .

Задачи для повторения:.

1.Областью определения функции , является множество …

1) 2) 3) 4)

2.Область определения функции запишется в виде…

1) 2) 3) 4) 15

3.Область определения функции запишется в виде…

1) 2) 3) 4)

4.Наименьшее значение из области значения функции равно …

1) 6 2) 3 3) 4 4) 5

5. Область определения функции запишется в виде…

1) 2) 3) 4)

Ответы. 1) 1, 2) 3, 3) 1 4) 2 5) 3

Предел функции

4.1. Основные понятия и определения.

Одним из основополагающих понятий математического анализа является понятие предела функции f(x) при стремлении аргумента « x» к некоторой точке а или к бесконечности.

Выражение означает, что переменная х неограниченно приближается к точке а, но никогда ее не достигает, т.е. разность по модулю будет сколь угодно малой величиной и стремиться к нулю. В этом случае пишут

Выражение означает, что переменная х становится как угодно большой величиной, неограниченно удаленной от начала координат. В этом случае пишут . Начнем тему «Теория пределов» с понятий бесконечно малых и бесконечно больших функций.