Преобразование прямоугольной системы координат
Понятие направленного угла между векторами вводится на ориентированной плоскости.
Пусть 
и 
- ненулевые векторы, заданные в определенном порядке ( - первый вектор, - второй вектор).
Если || , то направленным углом между вектором и векторомназывается
величина 
, если базис , - правый;
величина 
, если базис , - левый.
Если 
, то направленный угол между ними считается равным 
, если 
, то 
(рис. 43).
Направленный угол между вектором
и вектором
обозначается так:
.
На чертеже направленный угол между векторами и показывают дугой со стрелкой, идущей от первого вектора ко второму.
Из определения направленного угла между векторами и следует, что он находится в следующих пределах:
 . |
Рассмотрим две прямоугольные декартовы системы координат 
и 
. Пусть М(х;у) в , 
в . Так как прямоугольная система координат - частный случай аффинной, то можно пользоваться формулами (5) из §12, но коэффициенты 
, 
, 
, 
уже не могут быть произвольными.
Найдем координаты векторов 
, 
в старой системе . Рассмотрим два случая.
1) Базисы 
, 
и , одинаково ориентированы (рис. 44).
Пусть направленный угол 
. Приведем векторы 
и 
к общему началу О (рис. 45).
Прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и острому углу ( 
, 
), следовательно, 
и 
.
Из 
находим:
;
.
Следовательно, 
.
; 
.
Следовательно, 
. Тогда формулы (5) примут вид:
;
. (8)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису ,
.
2) Базисы , и , противоположно ориентированы (рис. 46).
Пусть
. Приведем векторы
и
к общему началу О (рис. 47).
Рассуждая аналогично случаю 1), получим:
;
;
; 
.
Следовательно, 
; 
.
Тогда формулы (5) примут вид:
;
. (9)
Заметим, что определитель матрицы перехода от базиса , к базису , в этом случае
.
Формулы (8) и (9) можно объединить:
.
Частные случаи преобразования
Прямоугольной системы координат
1. Перенос начала: 
, 
.
 . |
2. Поворот координатных векторов на угол a: 
, .
Полярные координаты
Если указано правило, по которому положение точек плоскости можно определить с помощью упорядоченных пар действительных чисел, то говорят, что на плоскости задана система координат. Кроме аффинной системы координат, которая была рассмотрена в §10, в математике часто применяют полярную систему координат на плоскости.
Система полярных координат вводится на ориентированной плоскости.
Пара, состоящая из точки О и единичного вектора 
, называется полярной системой координат и обозначается 
или 
. Направленная прямая 
называетсяполярной осью, точка О - полюсом (рис. 49).
Пусть М – произвольная точка плоскости. Расстояние
от точки О до точки М называется полярным радиусом точки М.
 . |
Таким образом, 
. Если М совпадает с О, то 
. Для любой точки М ее полярный радиус
Направленный угол
называетсяполярным углом точки М (рис. 50).
 . |
Если М совпадает с полюсом О, то j - неопределенный. Из определения направленного угла между векторами (см. §13) следует, что полярный угол
Полярный радиус r и полярный угол j называются полярными координатами точки М.
На рис. 51 построены точки 
, 
, 
по их полярным координатам.
Выведем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым и обратно.
Пусть - полярная система координат на ориентированной плоскости, 
, 
в . Присоединим к полярной системе единичный вектор 
, ортогональный вектору 
так, чтобы базис , был правым (рис. 52).
, 
.
Пусть М(х;у) в 
. Тогда 
; 
(рис. 52).
Получили формулы перехода от полярных координат к прямоугольным:
Возведем обе части этих равенств в квадрат и сложим:
, откуда 
(корень берется со знаком «+», т.к. 
). 
Þ 
Þ 
; 
.
Получили формулы перехода от прямоугольных декартовых координат к полярным:
Замечание. При решении задач на переход от прямоугольных декартовых координат к полярным недостаточно найти только
или только
, т.к. по одной тригонометрической функции определить полярный угол однозначно невозможно: в промежутке
существуют два угла с одинаковыми косинусами (два угла с одинаковыми синусами) (рис. 53). Поэтому правильно найти полярный угол j вы сможете, только если одновременно вычислите
и
.
Прямая линия на плоскости
, 
, 
, 
. 
