Задачи и упражнения по дифференциальному исчислению функций одной переменной
(Контрольная работа № 2 «Производная и дифференциал»)
В задачах 101-120 найти указанные пределы.
101.а) 
б) 
в) 
г) 
102.а) 
б) 
в) 
г) 
103.а) 
б) 
в) 
г) 
104.а) 
б) 
в) 
г) 
105.а) 
б) 
в) 
г) 
106.а) 
б) 
в) 
г) 
107.а) 
б) 
в) 
г) 
108.а) 
б) 
в) 
г) 
109.а) 
б) 
в) 
г) 
110.а) 
б) 
в) 
г) 
111.а) 
б) 
в) 
г) 
112.а) 
б) 
в) 
г) 
113.а) 
б) 
в) 
г) 
114.а) 
б) 
в) 
г) 
115.а) 
б) 
в) 
г) 
116.а) 
б) 
в) 
г) 
117.а) 
б) 
в) 
г) 
118.а) 
б) 
в) 
г) 
119.а) 
б) 
в) 
г) 
120.а) 
б) 
в) 
г) 
В задачах 121-130 даны функции y=f(x) и значения аргумента х1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях аргумента; 2) найти односторонние пределы в точках разрыва; 3) построить график данной функции.
121. 
122. 
123. 
124. 
125. 
126. 
127. 
128. 
129. 
130. 
В задачах 131-140 функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х. Требуется: 1) найти точки разрыва функции, если они существуют; 2) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва; 3) сделать чертеж.
131. 
132. 
133. 
134. 
135. 
136. 
137. 
138. 
139. 
140. 
В задачах 141-160 найти производные 
, пользуясь формулами дифференцирования.
141.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
142.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
143.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
144.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
145.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
146.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
147.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
148.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
149.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
150.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
151.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
152.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
153.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
154.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
155.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
156.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
157.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
158.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
159.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
160.а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
В задачах 161-180 найти производные и 
.
161. 
162. 
163. 
164. 
165. 
166. 
167. 
168. 
169. 
170. 
171. 
172. 
173. 
174. 
175. 
176. 
177. 
178. 
179. 
180. 
В задачах 181-190 дана функция y=f(x) и значения аргумента х1 и х2. Найти приближенное значение данной функции при х=х2, исходя из ее точного значения при х=х1 и заменяя приращение функции Dу соответствующим дифференциалом dy.
181. 
182. 
183. 
184. 
185. 
186. 
187. 
188. 
189. 
190. 
В задачах 191-200 найти приближенное значение указанных величин с помощью дифференциалов соответствующих функций.
191.cos630. 192.tg320. 193. sin320. 194.ctg430.
195.sin270. 196.cos590. 197.tg430. 198.sin330.
199.cos570. 200.ctg470.
В задачах 201-220 даны уравнения параболы и точки С (х1;у1), которая является центром окружности. Радиус окружности R=5. Требуется: 1) найти точки пересечения параболы с окружностью; 2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках ее пересечения с окружностью; 3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках их пересечения. Сделать чертеж.
201. 
202. 
203. 
204. 
205. 
206. 
207. 
208. 
209. 
210. 
211. 
212. 
213. 
214. 
215. 
216. 
217. 
218. 
219. 
220. 
В задачах 221-240 исследовать данные функции методами дифференциального исчисления и начертить их графики. Исследование и построение графика рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область существования функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва; 3) выяснить, не является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти точки экстремума функции и определить интервалы возрастания и убывания функции; 5) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции; 6) найти асимптоты графика функции, если они имеются; 7) построить график функции, используя результаты исследования; при необходимости можно дополнительно находить точки графика, давая аргументу х ряд значений и вычисляя соответствующие значения у.
221. 
222. 
223. 
224. 
225. 
226. 
227. 
228. 
229. 
230. 
231. 
232. 
233. 
234. 
235. 
236. 
237. 
238. 
239. 
240. 
В задачах 241-260 найти наибольшее и наименьшее значения функции y=f(x) на заданном отрезке.
241. 
242. 
243. 
244. 
245. 
246. 
247. 
248. 
249. 
250. 
251. 
252. 
253. 
254. 
255. 
256. 
257. 
258. 
259. 
260. 
261.Требуется изготовить открытый сверху цилиндрический сосуд максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры сосуда (радиус R и высота Н), если на его изготовление имеется S84,82 дм2 материала (S=27p)?
262. Требуется вырыть яму конической формы (воронку) с образующей а=3 м. При какой глубине объем воронки будет наибольшим?
263. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
264. В эллипс 
вписать прямоугольник наибольшей площади. Найти стороны этого прямоугольника, если они параллельны осям эллипса.
265. Требуется изготовить вскрытый цилиндрический бак максимальной вместимости. Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), если на его изготовление имеется S=18,84 дм2 материала (S=6p)?
266. В прямоугольной системе координат через точку М (2;3) проведена прямая, которая вместе с осями координат образует треугольник, расположенный в первом квадранте. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?
267. Резервуар, открытый сверху, имеет форму прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала, если он должен вмещать 256 л воды?
268. Требуется вырыть яму цилиндрической формы с круглым основанием и вертикальной боковой поверхностью заданного объема V=25 м3 (V»8p). Каковы должны быть линейные размеры ямы (радиус R и высота Н), чтобы на облицовку ее дна и боковой поверхности пошло наименьшее количество материала?
269. Из круглого бревна радиуса 
требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием b и высотой h. Прочность балки пропорциональна bh2. При каких значениях b и h прочность балки будет наибольшей?
270. Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак заданного объема V=50 м3 (V»16p). Каковы должны размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
271. Из бревна, имеющего форму усеченного конуса надо вырезать балку, поперечное сечение которой представляет собой квадрат, а ось совпадает с осью бревна. Найти размеры балки (сторону квадрата а и длину балки b), при которых объем балки будет наибольшим.
Диаметр бóльшего основания бревна равен 2 м, диаметр меньшего основания равен 1 м, а длина бревна (считая по оси) равна 18 м.
272. Требуется поставить палатку в форме правильной четырехугольной пирамиды заданной боковой поверхности 
м2. Каковы должны быть размеры палатки (сторона основания а и высота Н), чтобы вместимость палатки была наибольшей?
273. Равнобедренный треугольник, периметр которого Р=12, вращается вокруг основания. Найти основание а, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем?
274. Цистерна имеет форму прямого кругового цилиндра, завершенного с одной стороны полушаром. Вместимость цистерны 
. Найти радиус цилиндра R, при котором цистерна будет иметь наименьшую полную поверхность.
275. Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны наименьшему основанию. При каком угле наклона боковых сторон сечение канала будет иметь наибольшую площадь?
276. требуется изготовить полотняный шатер, имеющий форму прямого кругового конуса заданной вместимости 
. Каковы должны быть размеры конуса (высота Н и радиус основания R), чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?
277. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом. Периметр сечения 
. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наибольшей?
278. Из прямоугольного листа жести размером 24´9 см требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом. Каковы должны быть стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки была наибольшей?
279. Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиуса R=3, вращается вокруг основания. Найти высоту треугольника h, при котором полученное тело вращения имеет наибольший объем.
280. Найти высоту конуса наибольшего объема, который можно вписать в шар радиуса R.
В задачах 281-290 для кривых в указанной точке А (х1;у1) найти радиус кривизны и координаты центра кривизны. Сделать чертеж.
281. 
282. 
283. 
284. 
285. 
286. 
287. 
288. 
289. 
290. 
В задачах 291-295 для кривых, заданных параметрическими уравнениями, найти радиус кривизны при указанном значении параметра
291. 
292. 
293. 
294. 
295. 
В задачах 296-300 для кривых, заданных в полярной системе координат, найти радиус кривизны в указанной точке А (j ;r).
296. 
297. 
298. 
299. 
300. 
Примечание. Задачи 161-180, 201-220, 241-260, 281-300 не включены в таблицы 1 и 2 выполнения контрольных работ. Решением кафедр высшей математики вузов МЧС эти задачи могут быть дополнительно включены полностью или частично в контрольную работу 2.