ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (1), где ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru - постоянные вещественные числа, ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru - непрерывны в интервале (a,b).

Так как общее решение неоднородной системы связано с построением общего решения соответствующей однородной системы, то, естественно, сначала рассмотрим однородную систему ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (2).

Фундаментальная система решений, из ранее доказанного, существует в интервале ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Для системы (2) всегда можно построить ФСР из элементарных целых функций.

Решение системы (2) будем искать в виде ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (3).

Подставляя (3) в (2), получаем ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Сокращая на ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , имеем линейную однородную систему относительно ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (4).

Нетривиальное решение система (4) имеет, когда определитель её равен нулю, т.е. ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (5).

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением системы (2), а корни его называются характеристическими числами. ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru представляет собой многочлен степени n относительно λ.

Случай 1. Все корни характеристического многочлена ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru - действительные и различные, т.е. ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Покажем, что в этом случае ранг матрицы ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

равен n-1.

Рассмотрим:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

где ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru - алгебраические дополнения элемента ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru определителя ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Следовательно, хоть один из определителей (n-1)-го порядка отличен от нуля.

Система (4) имеет ненулевое решение, которое определяется с точностью до множителя. Таким образом, получим n решений системы (2).

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (6) - ФСР системы (2).

Поэтому, в силу основной теоремы, общее решение системы (2) в области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru имеет вид:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (7).

Пример.

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (8). ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Подставляя ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru в систему (4), получаем:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Аналогично находим при ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru :

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (9) – общее решение системы (8).

Случай 2. Все корни различны, но среди них имеются комплексные.

a + ib u a – ib - простые корни характеристического уравнения. Корню a + ib, согласно формуле (3), соответствует решение ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru - комплексные числа. Поэтому y1,..., yn – комплексное решение.

Отделяя в нём вещественную и мнимую части, получим два вещественных решения. Сопряжённый корень a – ib не порождает новых вещественных решений.

Итак, паре комплексно сопряжённых корней соответствует два вещественных линейно независимых решения.

Пример. ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (10)

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (11) – общее решение данной системы.

Случай 3. Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.

Как построить в этом случае ФСР для системы (2) даёт ответ следующая теорема.

Теорема.

Если ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru есть характеристическое число кратности k, то ему соответствует решение вида ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где P1(x), P2(x),..., Pn(x) – полиномы от х степени, не превышающей k-1, имеющие в совокупности k произвольных коэффициентов. Полиномы могут вырождаться в постоянные числа. В таком случае k-кратному характеристическому числу ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru будет соответствовать решение вида ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Но среди коэффициентов ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru k коэффициентов являются произвольными.

Пример.

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (12) ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

λ=-2 - корень кратности два, ему соответствуют решения

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (13). Сокращая их на ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и подставляя ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru в систему (12), получаем:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (14).

Сравнивая в системе (14) коэффициенты при одинаковых степенях, получаем следующие соотношения:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Положим ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru : ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Положим ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru : ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Таким образом, ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (15).

(15) – общее решение системы (12).

ЛЕКЦИЯ 10:

27. Теорема Пикара:

Если в уравнении ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , при ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (1)

1. ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru определена и непрерывна в области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и, следовательно, ограничена в области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , т.е. ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

2. Удовлетворяет в области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru условию Липшица по ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru :

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (2)

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru
ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , то существует единственное решение ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , удовлетворяющее условию ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , а в промежутке ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , где ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и решение это определено и непрерывно дифференцируемо для ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru из отрезка ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и не выходит за пределы области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru при этих значениях ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Поясним некоторые условия теоремы

Пикара.

1. ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

2. На практике условие Липшица заменяется ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Из этого условия следует условие Липшица.

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Обратно, из условия Липшица не следует условие ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Примером может служить функция ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Производная ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru не принадлежит в ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Доказательство:

Предположим, что существует решение ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru с условием ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Тогда ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (3)

Уравнение (1) и (3) равносильны. Решение (1) является решением (3).

Если найдено решение интегрального уравнения (3), тем самым найдено решение уравнения (1).

Доказывать существование и единственность решения уравнения (1) при заданных условиях будем методом приближений.

За нулевые приближения возьмём ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ,

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (4)

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

  1. Покажем, что все члены функциональной последовательности (4) определены и непрерывны на отрезке ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и не выходят за пределы области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru определена и непрерывна,

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru Предположим, что ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru определена и непрерывна на промежутках ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru даже дифференцируемая функция (интеграл с верхним переменным пределом).

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Таким образом, все члены последовательности (4) определены и непрерывны в промежутках ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и не выходят при этих значениях за пределы области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

2. Докажем равномерную сходимость функциональной последовательности (4) в промежутке ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Вместо (4) будем рассматривать функциональный ряд:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (5)

Сходимость последовательности (4) равносильна сходимости ряда (5), так как частные суммы ряда (5) являются ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Оценим разность ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru {применяем условие Липшица} ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ,

Учитывая ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Аналогично ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

И так далее.

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (6)

Предполагая, что это утверждение верно для ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru доказывается (6).

Члены ряда для всех значений ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru из промежутка ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru не превосходят по абсолютной величине соответствующих членов следующего ряда с положительными членами:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (7)

Ряд (7) сходится. Сумма этого ряда равна ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (8)

Согласно признаку Ваейрштрасса ряд (5) сходится равномерно в промежутке ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Пусть ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru сумма ряда (5) или предельная функция последовательности (4).

Тогда по теореме непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда функция ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru также непрерывна в промежутке ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

  1. Покажем, что функция ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru является решение интегрального уравнения (3) и её значения не выходят за пределы области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru при ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Так как ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , то переходя к пределу при ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru получим:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

В формуле (4) перейдём к пределу при ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru :

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Докажем, что ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

для ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru из промежутка ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Итак, ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

  1. Докажем, что получено решение единственное.

Предположим, что существует ещё одно решение ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , удовлетворяющее тем же начальным условиям, которое определено и непрерывно в промежутке ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и не выходит при этих значениях ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru за пределы области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Итак, ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Оценим

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ,

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru и т.д.

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru (9)

Устремляем ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru в формуле (9): ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

Откуда ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Замечание:

1. Формула (9) даёт оценку погрешности нашего приближения к решению ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

2. Формула (8) даёт оценку решения ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

3. За нулевое приближение не обязательно брать ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru . Можно брать любую непрерывно дифференцируемую функцию, значения которой не выходят за пределы области ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

Пример:

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru , ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru .

ГЛАВА 3: Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. - student2.ru

ЛЕКЦИЯ 11:

Наши рекомендации