Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Определение

Совокупность уравнений вида

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.1)

где Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru –независимая переменная, Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru – искомые функции, Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru – их производные, называется системой дифференциальных уравнений первого порядка.

Система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных от неизвестных функций, называется нормальной системой дифференциальных уравнений и имеет следующий общий вид:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . (8.7.2)

Совокупность Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru функций

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.3)

определенных в интервале Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , называется решением нормальной системы (8.7.2), если эти функции при подстановке в уравнение системы (8.7.2) обращают их в тождество.

Теорема (Коши)

Пусть для системы дифференциальных уравнений первого порядка (8.7.2) выполняются следующие условия:

- функции Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru определены и непрерывны по всем аргументам в замкнутой области Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru ,

- частные производные Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru непрерывны в области Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Тогда существует одна и только одна система решений уравнений (2):

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , (8.7.4)

определенная в некоторой окрестности точки Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и удовлетворяющая в этой точке заданным начальным условиям:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . (8.7.5)

Условия (8.7.5) называются начальными условиями решения, а задача отыскания решения по заданным начальным условиям – задачей Коши.

Совокупность n функций

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.6)

зависящих от Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru произвольных постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , будем называть общим решением системы (8.7.2) в некоторой области Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , если при любых значениях постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru эти функции представляют решение системы и если любое решение этой системы может быть записано в виде (8.7.6) при некоторых значениях постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Совокупность Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru функций

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.7)

получающееся из общего решения (6) системы (8.7.2) при определенных значениях постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru будем называть частным решением системы (8.7.2).

Если в области Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru выполнены условия теоремы Коши, то для нахождения частного решения (8.7.7) достаточно разрешить уравнения

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.8)

относительно Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и подставить найденные значения постоянных в соотношения (8.7.6).

Одним из основных методов нахождения решения нормальных систем является метод исключения постоянных. С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению n–го порядка относительно одной неизвестной функции.

Пример

Найти общее решение системы уравнений Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru при Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение

Продифференцировав первое из уравнений системы по Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , получаем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Подставляя в это равенство выражение Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru из второго уравнения системы и заменяя функцию Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru ее выражением из первого, приходим к линейному однородному уравнению второго порядка относительно одной неизвестной функции: Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Решив это уравнение, находим его общее решение Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Дифференцируя последнее равенство, имеем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Подставляя выражения для Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru в первое уравнение системы и приводя подобные члены, получим Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Окончательно, общее решение системы имеет вид

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решим теперь задачу Коши. Подставив в систему (*) вместо y, z и x их начальные значения 0, 1 и 0, получаем систему уравнений для определения постоянных Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru : 0= Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 1+ Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 0, 1=( Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru + Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru ) Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru +( Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru - Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru ) Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Отсюда Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru =0, Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru =1. Следовательно, искомым частным решением являются функции Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Если правые части нормальной системы (8.7.2) являются линейными функциями относительно неизвестных функций Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , то такая система называется линейной и имеет вид

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.9)

Если функции Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru тождественно равны нулю, то линейная система называется однородной, в противном случае – неоднородной.

Системы линейных однородных диф. уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями x, e и z:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.10)

где Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru – вещественные числа, t – независимая переменная.

Будем искать частное решение системы (8.7.10) в следующем виде:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.11)

где a, b, g и k некоторые числа (причем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru ), которые надо определить так, чтобы функции (8.7.11) были решением системы (8.7.10).

Подставляя функции (8.7.11) и их производные в уравнения системы (8.7.10) и сокращая на Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , получим

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Перенося все члены в одну часть равенства и группируя коэффициенты при a, b, g получим систему уравнений

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.12)

Система (8.7.12) – это однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными a, b и g. Как известно, чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель был равен нулю, т.е. число k было корнем уравнения

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.13)

Уравнение (8.7.13) называют характеристическим уравнением для системы (8.7.10). Оно является уравнением третьей степени относительно k и имеет три корня: Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Каждому корню соответствует ненулевое решение системы (8.7.12) ( Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru ), а следовательно, и частное решение данной системы (8.7.10):

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Если корни Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru характеристического уравнения различны и вещественны, то общее решение системы (8.7.10) запишется в виде

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru или Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.14)

где Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru – произвольные постоянные.

В случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные, корню Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru кратности r соответствует частное решение системы (8.7.10), имеющее вид

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (8.7.15)

где Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru – многочлены степени не выше Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru.

Пример

Найти общее решение системы Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение

Ищем частное решение системы в виде Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Подставляя эти функции в систему, получаем

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (П.1)

Составляем характеристическое уравнение Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Отсюда получаем уравнение Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Корни характеристического уравнения Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru различны и вещественны.

Найдем частное решение, соответствующее корню Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Подставим его значение в систему (П.1). Полагая Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , находим Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Решение имеет вид Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Аналогично для корня Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru получаем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Решение имеет вид Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Третий корень Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru дает Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Решение Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Общее решение системы имеет вид

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Пример

Найти общее решение системы Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Решение

Ищем частное решение в виде Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . При этом получаем характеристическое уравнение: Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru или Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Корни этого уравнения Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru комплексно сопряженные. Для первого корня имеем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и, значит, Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru – решение данной системы.

Аналогично для второго корня частное решение равно Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Выделив из обоих частных решений вещественные части, получаем общее решение системы

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Пример

Найти общее решение системы

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (П.2)

Решение

Характеристическое уравнение Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , или Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru имеет корни Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Найдем частное решение вида Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru соответствующее корню Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Из системы имеем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Искомым частным решением являются функции Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Теперь найдем два частных решения, соответствующих кратному корню Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Согласно (8.7.15), ему отвечает решение вида

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (П.3)

Коэффициенты Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru определяются подстановкой (П.3) в систему (П.2). Выбрав в качестве произвольных коэффициенты Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , найдем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Решения (П.3) принимают вид Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Полагая сначала Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , а затем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , находим два частных решения, соответствующих кратному корню Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru : Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

И, наконец, общим решением данной системы являются функции

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Упражнения

Проинтегрировать следующие уравнения различных типов:

1. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru
3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 4. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru
5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 6. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru
7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 8. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru
9. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 10. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Проинтегрировать следующие системы .уравнений:

11. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 12. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru
13. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru 14. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru

Глава 9. Ряды

Основные понятия. Сходимость ряда

Определение: Рассмотрим числовую последовательность Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Образуем из элементов этой последовательности выражение вида

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , (9.1.1)

которое называется числовым рядом, или просто рядом. Слагаемые в формуле (9.1.1) называются членами ряда. Суммы первых n членов ряда называются частичными суммами ряда:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , …, Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (9.1.2)

Поскольку число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют числовую последовательность Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru :

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . (9.1.3)

Ряд (9.1.1) называется сходящимся, если существует предел S последовательности частичных сумм (9.1.3); в таком случае число S называется суммой ряда:

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru (9.1.4)

Если же последовательность частичных сумм (9.1.3) не имеет предела, числовой ряд (9.1.1) называется расходящимся.

Рассмотрим примеры числовых рядов.

1. Дан ряд Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru . Последовательность частичных сумм этого ряда Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru не имеет предела, т.е. ряд расходится.

2. Дан ряд составленный из элементов геометрической прогрессии с первым членом Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и знаменателем Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru : Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Частичная сумма этого ряда выражается формулой Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru .

1. При |q|< 1 пределом является число Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru , которое также будет и суммой данного ряда.

2. При |q|> 1 предел Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - student2.ru и ряд расходится.

3. Если же |q|= 1, то данный ряд также расходится.

Наши рекомендации